Задание

Ознакомься с примером решения

Основные формулы

(1) \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1,

(2) \sin(-\alpha) = -\sin \alpha,

(3) \cos(-\alpha) = \cos \alpha,

(4) \sin(\alpha + 2 \pi k) = \sin \alpha, k \in \Z,

(5) \cos(\alpha + 2 \pi k) = \cos \alpha, k \in \Z,

(6) \sin(\pi + \alpha) =- \sin \alpha,

(7) \cos(\pi + \alpha) = - \cos \alpha.

Вычислим A = \cfrac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}} + \cfrac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\sin\alpha}, если \pi \lt \alpha \lt \cfrac{3\pi}{2}.

Решение. Пользуясь формулой (1) и равенством \sqrt{a^2}=|a|, имеем A = \cfrac{\cos\alpha}{\sqrt{\cos^2\alpha}} + \cfrac{\sqrt{\sin^2\alpha}}{\sin\alpha} = \cfrac{\cos \alpha}{|\cos \alpha|}+ \cfrac{\sin \alpha}{|\sin \alpha|}.

Так как \pi \lt \alpha \lt \cfrac{3\pi}{2}, то \cos \alpha \lt 0 и \sin \alpha \lt 0, поэтому |\cos \alpha| = -\cos \alpha и |\sin \alpha| = -\sin \alpha и A = \cfrac{\cos\alpha}{-\cos\alpha} + \cfrac{-\sin\alpha}{\sin\alpha}= -1-1=-2.

Ответ: -2.