Выполни задание

Для любого острого угла \(\alpha\) справедливы равенства

\(\sin ^2\alpha +\cos ^2\alpha=1\) , \(1+\tg ^2\alpha =\dfrac{1}{\cos ^2\alpha}\) , \(1+\ctg ^2\alpha =\dfrac{1}{\sin ^2\alpha}\) .

Следствия:

\(\sin ^2\alpha =1-\cos ^2\alpha\) , \(\cos ^2\alpha=1-\sin ^2\alpha\) , \(\tg ^2\alpha=\dfrac{1}{\cos ^2\alpha}-1\) , \(\nobreak{\ctg ^2\alpha=\dfrac{1}{\sin ^2\alpha}-1}\) .

Упрости выражения:

1. \(1+\sin ^2\alpha-\cos ^2\alpha\) ;

2. \(1+\cos ^2\alpha-\sin ^2\alpha\) ;

3. \((1+\sin \alpha)(1-\sin \alpha)\) ;

4. \((\sin \alpha+\cos \alpha)^2-2\sin \alpha\cos \alpha\) ;

5. \(\dfrac{1-\sin ^2\alpha}{\cos ^2\alpha}\) ;

6. \(\dfrac{\sin ^2\alpha}{1-\cos ^2\alpha}\) ;

7. \(1+\dfrac{1-\sin ^2\alpha}{\sin ^2\alpha}\) ;

8. \(1-\dfrac{\cos ^2\alpha-1}{\cos ^2\alpha}\) .

Решение:

1. Сгруппируем слагаемые таким образом: \((1-\cos ^2\alpha)+\sin ^2\alpha=\) _____ \(^2\alpha+\) _____ \(^2\alpha=2\cdot\) _____ \(^2\alpha\) .

2. __________.

3. Воспользуемся формулой разности квадратов. Получим равенство: \(\nobreak{(1+\sin \alpha)(1-\sin \alpha)=}1-\) _____ \(^2\alpha=\) _____.

4. __________.

5. __________.

6. __________.

7. Приведём слагаемые к общему знаменателю, затем в числителе приведём подобные слагаемые: \(\dfrac{\sin ^2\alpha+(1-\sin ^2\alpha)}{\sin ^2\alpha}=\) _____ \(=\) _____.

8. __________.