Заполни пропуски

Для арифметического корня чётной натуральной степени справедливо ещё одно свойство.

\(\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|\) для любого значения \(a\) и любого натурального \(n\) .

Действительно, так как \(a^{2n}\geqslant 0\) , то \(\sqrt[2n]{a^{2n}}\) имеет смысл при любом значении \(a\) .

Если \(a\geqslant 0\) , то \(\sqrt[2n]{a^{2n}}=a\) .

Если \(a\lt 0\) , то \(|a|=-a\) и \(\sqrt[2n]{a^{2n}}=|a|=-a\) .

1. Упрости выражение \({\sqrt[6]{(x+3)^6}+\sqrt[10]{(x-5)^{10}}}\) , если \({-3\lt x\lt 5}\) .

Решение.

По свойству \(\sqrt[6]{(x+3)^6}+\sqrt[10]{(x-5)^{10}}=\) \(|x+3|+|x-5|\) .

Если \(-3\lt x\lt 5\) , то \(x+3\gt 0\) , \(x-5\lt 0\) .

Значит, \(|x+3|=x+3\) , \(|x-5|=-(x-5)=5-x\) .

Следовательно, \(\sqrt[6]{(x+3)^6}+\sqrt[10]{(x-5)^{10}}=\) [ ].

2. Извлеки корень \({\sqrt[6]{(2x-4)^6}}\) , если \({x\lt 2}\) .

Решение.

Так как \(x\lt 2\) , то \(2x-4\) [ \(\lt\) | \(\gt\) ] \(0\) .

Cледовательно, \(\sqrt[6]{(2x-4)^6}=\) [ ].