Задание

Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, вмещает 500 литров воды. Какой должна быть сторона основания бака, чтобы площадь его боковой поверхности (без крышки) была бы наименьшей?

Восстановите последовательность шагов решения задачи.

Введём обозначения. Обозначим площадь поверхности бака буквой \(S\) (так как в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей).

Обозначим сторону основания бака буквой \(x,\) где \(x>0.\) Это независимая переменная.

Объём бака \(V=500\) л (по условию). Если \(h-\) высота бака, то \(V=x^2h.\) Тогда \(h=\dfrac{V}{x^2}.\)

Поверхность бака состоит из квадрата со стороной \(x\) и четырёх прямоугольников со сторонами \(x\) и \(\dfrac{V}{x^2},\) так как по условию бак без крышки (см. рисунок). Значит, площадь его поверхности \(S=x^2+4\cdot{\dfrac{V}{x^2}}\cdot{x}=x^2+\dfrac{4V}{x}.\)

Рассмотрим функцию \(S(x)=x^2+\dfrac{2000}{x},x\in(0;+\infty).\) Нужно найти наименьшее значение этой функции.

Найдём производную функции \(S(x).\) \(S'(x)=2x-\dfrac{2000}{x^2};\) \(S'(x)=\dfrac{2(x^3-1000)}{x^2}.\)

Так как по условию \(V=500,\) то \(S=x^2+\dfrac{4\cdot{500}}{x}=x^2+\dfrac{2000}{x}.\)

Найдём критические и стационарные точки функции \(S(x).\) \(S'(x)=0\) при \(x=10.\) Это единственная стационарная точка на промежутке \((0;+\infty).\) Критических точек на этом промежутке нет.

При \(0< x< 10\) выполняется неравенство \(S'(x)< 0,\) при \(x>10\) выполняется неравенство \(S'(x)>0.\)

Значит, \(x=10-\) точка минимума функции на промежутке \((0;+\infty).\)

Так как \(x=10-\) единственная стационарная точка на промежутке \((0;+\infty),\) и это точка минимума функции, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.

Значит, чтобы бак с квадратным основанием объёмом 500 л имел наименьшую площадь поверхности, сторона основания такого бака должна быть равна 10 дм.

Ответ: 10 дм.