Бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, вмещает 500 литров воды. Какой должна быть сторона основания бака, чтобы площадь его боковой поверхности \(без крышки\) была бы наименьшей?
Восстановите последовательность шагов решения задачи.

• Введём обозначения. Обозначим площадь поверхности бака буквой \(S\) \(так как в задаче требуется выяснить, когда эта площадь будет наименьшей\).
• Обозначим сторону основания бака буквой \(x,\) где \(x\gt 0.\) Это независимая переменная.
• Объём бака \(V=500\) л \(по условию\). Если \(h-\) высота бака, то \(V=x^2h.\) Тогда \(h=\dfrac{V}{x^2}.\)
• Поверхность бака состоит из квадрата со стороной \(x\) и четырёх прямоугольников со сторонами \(x\) и \(\dfrac{V}{x^2},\) так как по условию бак без крышки \(см\. рисунок\). Значит, площадь его поверхности \(S=x^2+4\cdot{\dfrac{V}{x^2}}\cdot{x}=x^2+\dfrac{4V}{x}.\)
• Рассмотрим функцию \(S(x)=x^2+\dfrac{2000}{x},x\in(0;+\infty).\) Нужно найти наименьшее значение этой функции.
• Найдём производную функции \(S(x).\) \(S'(x)=2x-\dfrac{2000}{x^2};\) \(S'(x)=\dfrac{2(x^3-1000)}{x^2}.\)
• Так как по условию \(V=500,\) то \(S=x^2+\dfrac{4\cdot{500}}{x}=x^2+\dfrac{2000}{x}.\)
• Найдём критические и стационарные точки функции \(S(x).\) \(S'(x)=0\) при \(x=10.\) Это единственная стационарная точка на промежутке \((0;+\infty).\) Критических точек на этом промежутке нет.
• При \(0\lt x\lt 10\) выполняется неравенство \(S'(x)\lt 0,\) при \(x\gt 10\) выполняется неравенство \(S'(x)\gt 0.\)
• Значит, \(x=10-\) точка минимума функции на промежутке \((0;+\infty).\)
• Так как \(x=10-\) единственная стационарная точка на промежутке \((0;+\infty),\) и это точка минимума функции, то в этой точке функция достигает своего наименьшего значения.
• Значит, чтобы бак с квадратным основанием объёмом 500 л имел наименьшую площадь поверхности, сторона основания такого бака должна быть равна 10 дм.
• Ответ: 10 дм.