Заполни пропуски в решении и выбери верный ответ

Найди все значения \(a\) , при каждом из которых система уравнений

\(\begin{cases}\dfrac{(8x^2+x(2-10y)+2y^2-2y)\sqrt{6-x}}{\sqrt{x+2}}=0 ;\\x+y-a=0\end{cases}\)

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Представим систему как:

\(\begin{cases}y^2-(5x+1)y+(4x^2+x)=0 ;\\y=a-x ;\\-2\lt x \le 6 .\end{cases}\)

Решим первое уравнение системы относительно \(y\) с помощью теоремы Виета. Тогда решениями этого уравнения будут

\(\left[\begin{aligned} &y=4x+1 ;\\ &y=x. \end{aligned}\right.\)

Крайние два значения параметра \(a\) , когда прямая \(y=a-x\) пересекается с прямой \(y=4x+1\) и с прямой \(y=x\) , получаются при \(x=-2\) и \(x=6\) :

\(a=\) [ ]и \(a=12\) .

Тогда при \(a\in(\) [ ] \(;12]\) исходная система имеет два решения, кроме случая, когда прямые \(y=4x+1\) и \(y=x\) пересекаются в точке \((-\frac{1}{3};-\frac{1}{3})\) , которая соответствует значению параметра \(a=\) [ ]. Это значение параметра \(a\) мы исключаем, так как тогда решение исходной системы будет единственно.

Итак, \(a\in\) [ \((-4;-\frac{2}{3})\cup(-\frac{2}{3};12]\) | \((-\frac{2}{3};12]\) | \((-4;-\frac{2}{3})\) ].

Ответ:[ \((-4;-\frac{2}{3})\cup(-\frac{2}{3};12]\) | \((-\frac{2}{3};12]\) | \((-4;-\frac{2}{3})\) ].