Заполни пропуски в решении и выбери верный ответ
Дана трапеция \(ABCD\) c основаниями \(AD\gt BC\) . Сторона \(AB\) перпендикулярна основаниям. В трапецию вписана окружность с центром \(O\) . Прямая \(CO\) пересекает основание \(AD\) в точке \(M\) .
- Докажи, что \(S\_{ABCM}\text{:}S\_{CDM}=\sqrt{3}\text{:}2\) , если \(\angle ADC=60\degree\) .
- Найди площадь трапеции, если \(CD=24\) .
Решение.
Обозначим \(P,Q,R,T\) — точки касания трапеции и окружности.
По свойствам вписанной в угол окружности \(OD\) является биссектрисой угла \(D\) , а также \(DR=DQ\) , \(CQ=CP\) как отрезки касательных.
Найдём острые углы прямоугольных треугольников \(DOQ\) и \(COQ\) :
\(\angle ODQ=30\degree\) , \(\angle DOQ=60\degree\) , \(\angle COQ=(180\degree-2\angle DOQ):2=30\degree\) , \(\angle OCQ=60\degree\) .
Обозначим \(r\) — радиус вписанной окружности.
Из треугольника \(DOQ\) получаем \(DQ=r\sqrt{3}\) . Значит \(DR=DQ=r\sqrt{3}\) .
Из треугольника \(COQ\) получаем \(CQ=\cfrac{r}{\sqrt{3}}\) . Значит \(MR=CP=CQ=\cfrac{r}{\sqrt{3}}\) .
Заметим также, что \(BP=AR=r\) , а высота трапеции \(h=PR=2r\) .
Выразим площади через \(r\) .
\(S\_{CDM}=\dfrac{DM\cdot h}{2}=\dfrac{2r}{2}\left(\dfrac{r}{\sqrt{3}}+r\sqrt{3}\right)=\dfrac{4r^2}{\sqrt{3}}\) .
\(S\_{ABCM}=(AM+BC)\cdot\dfrac{h}{2}=2r\cdot\dfrac{2r}{2}=2r^2\) .
\(\dfrac{S\_{ABCM}}{S\_{CDM}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .
Первый пункт задачи доказан.
Найдём площадь трапеции \(ABCD\) , используя полученные при доказательстве первого пункта задачи результаты.
\(CD=CQ+DQ\) .
\(24=\dfrac{r}{\sqrt{3}}+r\sqrt{3}\) .
Отсюда \(r=\) [ ].
\(S\_{CDM}=\dfrac{4r^2}{\sqrt{3}}=\) [ ].
\(S\_{ABCM}=2r^2=\) [ ].
Найдём площадь трапеции: \(S\_{ABCD}=S\_{CDM}+S\_{ABCM}\) .
Ответ: площадь трапеции равна
- \(144+216\sqrt{3}\)
- \(216+144\sqrt{3}\)
- \(216\sqrt{3}\)