Заполни пропуски в доказательстве и запиши ответ

В пирамиде, в основании которой лежит квадрат \(\mathrm{FPND}\) со стороной \(8\) , боковое ребро \(\mathrm{SF} = 12\) . На ребре основания \(\mathrm{FP}\) и боковом ребре \(\mathrm{SP}\) отмечены точки \(\mathrm{M}\) и \(\mathrm{К}\) соответственно, причём \(\mathrm{FM} =3,2\) , а \(\mathrm{SK} = 3\) .

а) Докажи, что \((\mathrm{NKH}) \perp (\mathrm{FPN})\) .

б) Найди объём пирамиды \(\mathrm{PNKM}\) .

Если в пропуск или в ответ нужно вставить дробное число, запиши его в виде неправильной обыкновенной дроби или правильной сокращённой дроби, если это возможно.

Доказательство.

а) \(\mathrm{MP=FP-FM}=\) [ ].

\(\mathrm{S\_{PNM}}=0,5 \mathrm{PN} \cdot \mathrm{PM}=\) [ ].

Так как \(\mathrm{PH}\) — [биссектриса|высота|медиана], проведённая из прямого угла \(\mathrm{NPF}\) , значит, \(\mathrm{S\_{PNM}=S\_{PNH}+S\_{PHM}=}\) \(3,2 \sqrt2 \, \mathrm{PH}\) .

Можем составить уравнение: \(3,2 \sqrt2 \, \mathrm{PH}=\) [ ], отсюда \(\mathrm{PH}= 3\sqrt{2}\) .

\(\mathrm{PO}=0,5\mathrm{PD}=4\sqrt{2}\) . Так как \(\mathrm{\cfrac{PH}{PO}}=\) [ ] и \(\mathrm{\cfrac{PK}{PS}}=\) [ ], значит, \(\triangle \mathrm{PKH}\) ~ \(\triangle \mathrm{PSO}\) по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(\angle \mathrm{SOP}=\) \(\angle \mathrm{KHP}\) . Отсюда \(\mathrm{KH || SO}\) , так как [соответственные|односторонние|разносторонние] углы равны при прямых \(\mathrm{KH}\) и \(\mathrm{SO}\) и секущей \(\mathrm{PO}\) .

Так как \(\mathrm{KH || SO}\) и \(\mathrm{SO \perp (FPN)}\) , то \(\mathrm{KH \perp (FPN)}\) . Следовательно, \(\mathrm{(NKH) \perp (FPN)}\) .

б) Ответ:[ ].