Заполни пропуски

Задача.

Найди множество значений функции:

\(y = 4 sin x - cos x\)

Решение.

Представим функцию в виде уравнения: \(4sin x - cos x = a\) ;

Преобразуем уравнение, используя формулы двойного угла:

\(8 sin \dfrac{x}{2} cos \dfrac{x}{2} - ( cos^2\dfrac{x}{2} - sin^2 \dfrac{x}{2}) = a(cos^2 \dfrac{x}{2} + sin^2 \dfrac{x}{2})\) ;

Перенесём все в левую часть и вынесем общие множители за скобку:

\(sin^2 \dfrac{x}{2}(\) [ ] \() - cos^2 \dfrac{x}{2}(\) [ ] \() + 8 sin \dfrac{x}{2} cos \dfrac{x}{2} = 0\) ;

Разделим обе части уравнения на \(cos^2 \dfrac{x}{2}\)

\((1-a)tg^2\dfrac{x}{2} + \) [ ] \(-(1+a) = 0\) ;

Введём замену переменных: \(z = tg \dfrac{x}{2}\) , получим квадаратное уравнение относительно переменной \(z\) с параметром \(a\) :

\((1-a)\) [ ] \(+ 8\) [ ] \( - (1+a) = 0\) ;

чтобы уравнение имело корни необходимо, чтобы дискриминант данного уравнения был больше или равен нулю:

\(D = 64+ 4(1-a)(1+a) = \) [ ];

[ ] \( \geq 0\) ;

Решая данное неравенство найдём:

\(\dfrac{\sqrt 68}{2} \leq a\leq -\dfrac{\sqrt 68}{2}\)

Значит множество значений данной функции:

\(E(y) = [\) [ ];[ ] \(]\) .

Ответ: \(E(y) = [\) [ ];[ ] \(]\) .