Запиши ответы

Выражение \(\sqrt{-1}\) не имеет смысла во множестве действительных чисел, но этот символ оказался очень полезным в математике, его обозначают буквой \(i:\sqrt{-1}=i\) — и называют мнимой единицей.

Выражение \(a+bi\) , где \(a\) и \(b\) — действительные числа, а \(i\) — мнимая единица, называют комплексным числом.

С помощью мнимой единицы \(i\) и действительных чисел можно составлять различные буквенные выражения. Например, \(2+i\) ; \(5-i\) ; \((2+i)(5-i)\) , \(\dfrac{3-i}{2+3i}\) . С ними можно выполнять арифметические действия как с буквенными выражениями, учитывая, что \(i^2=-1\) .

Выражение \(bi\) , где \(b\) — действительные числа, а \(i\) — мнимая единица, называют мнимым числом.

С помощью комплексных чисел можно записать комплексные корни квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. Например, уравнение \(x^2-2x+3=0\) имеет дискриминант \(D=-8\) . Так как считают, что \(\sqrt{-8}=\sqrt{8}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt{8}\cdot i\) , то \(x\_1=1+\sqrt{8}\cdot i\) , \(x\_2=1-\sqrt{8}\cdot i\) .

Числа \(a+bi\) и \(a-bi\) называют сопряжёнными.

Запиши комплексные числа, как показано в примере.

\((3+2i)+(2-i)=3+2i+2-i=5+i\) ;

\((3+2i)-(2-i)=3+2i-2+i=1+3i\) ;

\((3+2i)\cdot(2-i)=6+4i-3i-2i^2=6+i-2\cdot(-1)=6+i+2=8+i\) ;

\(\dfrac{3+2i}{2-i}=\dfrac{(3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{6+4i+3i-2}{2^2-i^2}=\dfrac{4+7i}{5}\) .

а) \((1+i)+(1-i)=\) [ ];

\((1+i)-(1-i)=\) [ ];

\((1+i)\cdot (1-i)=\) [ ];

\(\dfrac{1+i}{1-i}=\) [ ];

б) \((2+i)+(1-2i)=\) [ ];

\((2+i)-(1-2i) =\) [ ];

\((2+i)\cdot (1-2i)=\) [ ];

\(\dfrac{2+i}{1-2i}=\) [ ];

в) \((3-5i)+(5+3i) =\) [ ];

\((3-5i)-(5+3i) =\) [ ];

\((3-5i)\cdot (5+3i)=\) [ ];

\(\dfrac{3-5i}{5+3i}=\) [ ].