Задание

Заполни пропуски

В выпуклом четырёхугольнике AB=CD. Докажи, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами.

Доказательство.

Пусть M и N — середины диагоналей соответственно AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором AB=CD.

Если K — середина стороны BC, то KM — средняя линия треугольника ABC, а KN — средняя линия треугольника BCD. Поэтому KM\parallel AB, KM=\dfrac{1}{2} , KN\parallel , KN=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}AB=KM.

Значит, треугольник KMN – равнобедренный. Пусть прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках P и Q. Тогда \angle BPM=\angle KMN=\angle KNM=\angle CQN. Что и требовалось доказать.