В выпуклом четырёхугольнике AB=CD. Докажи, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами. Доказательство. Пусть M и N — середины диагоналей соответственно AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором AB=CD. Если K — середина стороны BC, то KM — средняя линия треугольника ABC, а KN — средняя линия треугольника BCD. Поэтому KM\parallel AB, KM=\dfrac{1}{2} , KN\parallel , KN=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}AB=KM. Значит, треугольник KMN – равнобедренный. Пусть прямая MN пересекает стороны AB и CD соответственно в точках P и Q. Тогда \angle BPM=\angle KMN=\angle KNM=\angle CQN. Что и требовалось доказать.

Задание

Заполни пропуски

В выпуклом четырёхугольнике \(AB=CD\) . Докажи, что прямая, проходящая через середины его диагоналей, образует равные углы с этими сторонами.

Доказательство.

Пусть \(M\) и \(N\) — середины диагоналей соответственно \(AC\) и \(BD\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) , в котором \(AB=CD\) .

Если \(K\) — середина стороны \(BC\) , то \(KM\) — средняя линия треугольника \(ABC\) , а \(KN\) — средняя линия треугольника \(BCD\) . Поэтому \(KM\parallel AB\) , \(KM=\dfrac{1}{2}\) [ ], \(KN\parallel \) [ ], \(KN=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}AB=KM\) .

Значит, треугольник \(KMN\) – равнобедренный. Пусть прямая \(MN\) пересекает стороны \(AB\) и \(CD\) соответственно в точках \(P\) \(\) и \(Q\) . Тогда \(\angle BPM=\angle KMN=\angle KNM=\angle CQN.\) Что и требовалось доказать.

Похожие

Тот же тест