Свойства ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Доказательство. Рассмотрим ромб ABCD: AB=BC=CD=DA. Диагонали ромба — AC и BD — пересекаются в точке . \triangle ABC — , так как AB= (по определению ромба). Так как ромб — это параллелограмм, то по свойству параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, в \triangle ABC BE — это , проведённая к основанию AC (AE=EC). Так как \triangle ABC — , а BE — это , то по треугольника BE AC и делит угол B пополам (по определению ). Но BE лежит на диагонали BD, и значит, BD \perp AC. Т. к. BE (или BD) — угла B, то доказано, что диагональ делит угол ромба пополам. Для \triangle BCD, \triangle CDA, \triangle DAB доказательство аналогично.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Заполни пропуски

Свойства ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Доказательство.

Рассмотрим ромб \(ABCD\) : \(AB=BC=CD=DA\) . Диагонали ромба — \(AC\) и \(BD\) — пересекаются в точке [ \(A\) | \(B\) | \(C\) | \(D\) | \(E\) ].

\(\triangle ABC\) — [равносторонний|равнобедренный], так как \(AB=\) [ ] (по определению ромба).

Так как ромб — это параллелограмм, то по свойству параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, в \(\triangle ABC\) \(BE\) — это [биссектриса|высота|медиана], проведённая к основанию \(AC\) \((AE=EC)\) .

Так как \(\triangle ABC\) — [равносторонний|равнобедренный], а \(BE\) — это [биссектриса|высота|медиана], то по [свойству|признаку|определению][равностороннего|равнобедренного] треугольника \(BE\) [ \(\perp\) | \(\parallel\) ] \(AC\) и делит угол \(B\) пополам (по определению [медианы|высоты|биссектрисы]).

Но \(BE\) лежит на диагонали \(BD\) , и значит, \(BD \perp AC\) .

Т. к. \(BE\) (или \(BD\) ) — [медиана|биссектриса|высота] угла \(B\) , то доказано, что диагональ делит угол ромба пополам.

Для \(\triangle BCD\) , \(\triangle CDA\) , \(\triangle DAB\) доказательство аналогично.

Тот же тест