Заполни пропуски

С помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии представь бесконечную периодическую десятичную дробь \(0,(23)\) в виде обыкновенной.

Решение.

Так как \(0,23=\dfrac{23}{100}\) ; \(0,0023=\dfrac{23}{10~000}\) и так далее, то дробь \({0,(23) \mathrlap{\:=}}\) \({=0,2323232323\dots}\) можно представить следующим образом:

\({0,2323232323\dots=\dfrac{23}{100} \mathrlap{\:+}}\) \({+\dfrac{23}{10~000}+\dfrac{23}{1~000~000}+\dots=}\) \({\dfrac{23}{100} \mathrlap{\:+}}\) \({+\dfrac{23}{100^2}+\dfrac{23}{100^3}+\dots}\)

Заметим, что числа \(\dfrac{23}{100}\) ; \(\dfrac{23}{100^2}\) ; \(\dfrac{23}{100^3};\dots\) образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, причём \(b\_1=\) [ ]; \(q=\) [ ].

Поэтому сумма \({\dfrac{23}{100}+\dfrac{23}{100^2} \mathrlap{\:+}}\) \({\dfrac{23}{100^3}+\dots}\) может быть найдена как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: \({S \mathrlap{\:=}}\) \({=\dfrac{b\_1}{1-q}}.\)

Подставим значения и найдём \(S=\) [ ].

Ответ: \(0,(23)=\) [ ].