Выполни задание

Реши системы уравнений.

\(\begin{cases} \dfrac{3}{(3x-4z)^2+1}+\dfrac{4}{(4x-5z)^2+1}=7, \\ 3x+4y+5z=168.\end{cases}\)

Пусть система имеет решение \((x\_0;y\_0;z\_0)\) , тогда верно числовое равенство

\(\dfrac{3}{(3x\_0-4z\_0)^2+1}+\dfrac{4}{(3x\_0-4z\_0)^2+1}=7\) .

Так как \(\dfrac{3}{(3x\_0-4z\_0)^2+1}\leqslant 3\) , \(\dfrac{4}{(3x\_0-4z\_0)^2+1}\leqslant 4\) , то равенство выполняется лишь при условии, что \(3x\_0=4z\_0\) , \(4y\_0=5z\_0\) , т. е. тройка чисел \((x\_0;y\_0;z\_0)\) является решением системы:

\(\begin{cases} 2x=4z, \\ 4y=5z, \\ 3x+4y+5z=168.\end{cases}\)

\((16;15;12)\) — единственное решение системы. С помощью проверки убеждаемся, что эта тройка чисел действительно является решением первой системы.

Ответ: \((16;15;12)\) .

а) \(\begin{cases} \dfrac{2}{(2x-3z)^2+1}+\dfrac{3}{(3x-4z)^2+1}=5, \\ 2x+3y+4z=66;\end{cases}\)

б) \(\begin{cases} \dfrac{8}{|x^2-9x|+4}=y^2+2, \\ \dfrac{x+19y}{x+y-8}=9;\end{cases}\)

Пусть система имеет решение \((x\_0;y\_0)\) , тогда верно числовое равенство \(\dfrac{8}{|x\_0^2-9x\_0|+4}=y\_0^2+2\) .

Так как \(\dfrac{8}{|x\_0^2-9x\_0|+4}=y\_0^2+2\leqslant 2\) , а...

в) \(\begin{cases} \dfrac{6}{|x^2-7x|+2}=y^2+3, \\ \dfrac{x+16y}{x+y-6}=7;\end{cases}\)

г) \(\begin{cases} (|x|-2)^2+(|y|+1)^2=1-z^2, \\ x+y+z=2;\end{cases}\)

д) \(\begin{cases} (|x|+2)^2+(|y|-1)^2=4-z^2, \\ x+y+z=-1.\end{cases}\)