Задание

Разбери решение задачи и распредели элементы

16\log_{4}^2{(8\sin x)}-11\log_{\sqrt{2}}(64\sin^2 x)+72\geqslant 0

Решение.

Запишем ОДЗ: \sin x\gt 0.

Перепишем неравенство:

16\left(\log_{2^2}{(8\sin x)}\right)^2-11\log_{2^{1/2}}(8\sin x)^2+72\geqslant 0.

Используем свойства логарифма и вынесем степени:

16\left(\dfrac{1}{2}\log_{2}{(8\sin x)}\right)^2-11\cdot 2\cdot \dfrac{1}{1/2}\log_{2}(8\sin x)+72\geqslant 0.

Подсчитаем коэффициенты перед логарифмами:

4\left(\log_{2}{(8\sin x)}\right)^2-44\log_{2}(8\sin x)+72\geqslant 0.

Разделим неравенство на 4:

\left(\log_{2}{(8\sin x)}\right)^2-11\log_{2}(8\sin x)+18\geqslant 0.

Сделаем замену t=\log_{2}(8\sin x):

t^2-11t+18\geqslant 0.

Последнее неравенство равносильно совокупности неравенств:

\left[ \begin{aligned} t\leqslant 2 ;\\ t\geqslant 9 . \end{aligned}\right.

Сделаем обратную замену:

\left[ \begin{aligned} \log_{2}(8\sin x)\leqslant 2 ;\\ \log_{2}(8\sin x)\geqslant 9 . \end{aligned}\right.

Учитывая то, что функция y=\log_{2}x монотонно возрастающая, получаем:

\left[ \begin{aligned} 8\sin x\leqslant 2^2 ;\\ 8\sin x\geqslant 2^9 . \end{aligned}\right.

\left[ \begin{aligned} \sin x\leqslant \cfrac{1}{2} ;\\ \sin x\geqslant 64 . \end{aligned}\right.

Неравенство \sin x\geqslant 64 не имеет решений, так как \sin x\leqslant 1.

Нам остаётся решить неравенство \sin x\leqslant \cfrac{1}{2} и учесть ОДЗ. Это означает, что мы должны решить систему неравенств:

\left\{ \begin{aligned} \sin x\leqslant \dfrac{1}{2} ;\\ \sin x\gt 0 . \end{aligned}\right.

Изобразим решения системы на числовой окружности. Множество точек, удовлетворяющих системе, изображено жёлтым цветом.

Вставь промежутки и символы в ответ. \left(2\pi k;\cfrac{\pi}{6}+2\pi k\right] \left[\cfrac{5\pi}{6}+2\pi k;\pi+2\pi k\right) \cup \cap \left[2\pi k;\cfrac{\pi}{3}+2\pi k\right] \left[\cfrac{2\pi}{3}+2\pi k;\pi+2\pi k\right] Ответ: x\in , k\in\Z.