Заполни пропуски в доказательстве

Распределительное свойство умножения вектора на число

Если \(\lambda \) , \(\mu \) — некоторые числа, \(\vec{a} \) — вектор, то справедливо следующее свойство:

\((\lambda + \mu )\vec{a} =\lambda \vec{a} +\mu \vec{a} \) .

Доказательство.

Пусть \(\vec{a} \) имеет координаты \((x;y)\) . Тогда вектор \((\lambda +\mu )\vec{a} \) имеет координаты \((\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda +\mu )\) ] \(x;\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda +\mu )\) ] \(y)\) .

Так как \((\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x\) и \((\lambda +\mu )y=\lambda y+\mu y\) , то вектор \((\lambda +\mu )\vec{a} \) имеет координаты \((\lambda x+\mu x;\lambda y+\mu y)\) .

Вектор \(\lambda \vec{a} \) имеет координаты \((\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda +\mu )\) ] \(x;\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda +\mu )\) ] \(y)\) , а вектор \(\mu \vec{a} \) имеет координаты \((\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda +\mu )\) ] \(x;\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda +\mu )\) ] \(y)\) .

Тогда их сумма \(\lambda \vec{a} +\mu \vec{a} \) имеет координаты \((\) [ \(\lambda x+\mu x\) | \(\lambda x+\mu y\) | \(\lambda y+\mu x\) | \(\lambda y+\mu y\) ] \(;\) [ \(\lambda x+\mu x\) | \(\lambda x+\mu y\) | \(\lambda y+\mu x\) | \(\lambda y+\mu y\) ] \()\) .

Значит, вектор \((\lambda +\mu )\vec{a} \) имеет такие же координаты, что и \(\lambda \vec{a} +\mu \vec{a} \) . Следовательно, \((\lambda +\mu )\vec{a} =\lambda \vec{a} +\mu \vec{a} \) .