Заполни пропуски в доказательстве

Если \(\lambda \) — число, \(\vec{a} \) , \(\vec{b} \) — векторы, то справедливо следующее свойство:

\(\lambda (\vec{a}+\vec{b} )=\lambda \vec{a} +\lambda \vec{b} \) .

Доказательство.

Пусть вектор \(\vec{a} \) имеет координаты \((x\_1;y\_1)\) , а вектор \(\vec{b} \) имеет координаты \((x\_2;y\_2)\) . Тогда их сумма \(\vec{a} +\vec{b} \) имеет координаты \((\) [ \(x\_1+x\_2\) | \(x\_1+y\_2\) | \(y\_1+x\_2\) | \(y\_1+y\_2\) ] \(;\) [ \(x\_1+x\_2\) | \(x\_1+y\_2\) | \(y\_1+x\_2\) | \(y\_1+y\_2\) ] \()\) .

Тогда вектор \(\lambda (\vec{a} +\vec{b} )\) имеет координаты \((\) [ \(\lambda (x\_1+x\_2)\) | \(\lambda (x\_1+y\_2)\) | \(\lambda (y\_1+x\_2)\) | \(\lambda (y\_1+y\_2)\) ] \(;\) [ \(\lambda (x\_1+x\_2)\) | \(\lambda (x\_1+y\_2)\) | \(\lambda (y\_1+x\_2)\) | \(\lambda (y\_1+y\_2)\) ] \()\) .

Так как \(\lambda (x\_1+x\_2)=\lambda x\_1+\lambda x\_2\) и \(\lambda (y\_1+y\_2)=\lambda y\_1+\lambda y\_2\) , то вектор \(\lambda (\vec{a} +\vec{b} )\) имеет координаты \((\lambda x\_1+\lambda x\_2;\lambda y\_1+\lambda y\_2)\) .

Вектор \(\lambda \vec{a} \) имеет координаты \((\lambda x\_1;\lambda y\_1)\) , а вектор \(\lambda \vec{b} \) имеет координаты \((\lambda x\_2;\lambda y\_2)\) . Тогда их сумма \(\lambda \vec{a} +\lambda \vec{b} \) имеет координаты \((\) [ \(\lambda x\_1+\lambda x\_2\) | \(\lambda x\_1+\lambda y\_2\) | \(\lambda y\_1+\lambda x\_2\) | \(\lambda y\_1+\lambda y\_2\) ] \(;\) [ \(\lambda x\_1+\lambda x\_2\) | \(\lambda x\_1+\lambda y\_2\) | \(\lambda y\_1+\lambda x\_2\) | \(\lambda y\_1+\lambda y\_2\) ] \()\) .

Значит, координаты векторов \(\lambda (\vec{a} +\vec{b} )\) и \(\lambda \vec{a} +\lambda \vec{b} \) совпадают. Следовательно, \(\lambda (\vec{a} +\vec{b} )=\lambda \vec{a} +\lambda \vec{b} \) .