Прочитай теорию и разберись в примере

Будем учиться делить многочлены по схеме Горнера. Это простой способ быстро и с улыбкой решать сложные рациональные уравнения.

Первый шаг схемы Горнера

Определи, на какой бином можно разделить многочлен без остатка.

Тут нам в помощь теорема Безу: если многочлен имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Решим уравнение \(x^3-3x^2+x-3=0\) .

Свободный член (слагаемое без \(x\) ) в многочлене: \(a\_0=-3\) .

Действуем по теореме Безу. Выпишем все делители свободного члена:

\(1\) ; \(-1\) ; \(3\) ; \(-3\) .

Проверим, есть ли среди этих чисел корень уравнения. Для этого достаточно подставить эти числа вместо \(x\) . Если при этом получим ноль, то данное число — корень.

Итак, проверь и выбери, какие из делителей свободного члена являются корнями уравнения:

• \(x=1\) , проверяем \(1^3-3\cdot 1^2+1-3=-4\ne 0\)
• \(x=-1\)
• \(x=3\)
• \(x=-3\)

Очевидно, только \(x=3\) является корнем уравнения. Значит, многочлен можно без остатка разделить на \((x-3)\) .

Тогда исходное уравнение примет вид:

\((x^2+1)(x-3)=0\) ;

\(x^2+1=0\) или \(x-3=0\) .

Первое уравнение не имеет корней, а второе уравнение имеет ожидаемый корень \(x=3\) .

Второй шаг схемы Горнера

Сначала составляем таблицу, в верхней строке которой будут расположены коэффициенты нашего многочлена.

Составим таблицу для многочлена \(P(x)=5x^6-3x^2+3\) . Определим коэффициенты многочлена и запишем их в таблицу. Это многочлен \(6\) -й степени, поэтому коэффициентов будет \(7\) : при каждой из степеней \(x\) , включая свободный член. Если какой-то степени нет в записи многочлена, то это означает, что коэффициент равен \(0\) .

Затем добавляем в нашу таблицу вторую строку, у которой будет дополнительный столбец слева. Туда запишем корень многочлена, образующий бином, на который мы собираемся делить.

Составим таблицу для многочлена \(x^3-3x^2+x-3\) .

Теперь заполняем пустые ячейки во второй строке. «Фишка» в том, что там окажутся коэффициенты нового многочлена — частного от деления исходного многочлена на бином.

Итак, во вторую ячейку просто записываем число, стоящее над пустой ячейкой.

Чтобы заполнить следующую ячейку, берём корень, умножаем его на имеющийся коэффициент и прибавляем к полученному числу то, которое стоит над пустой ячейкой. Эту процедуру повторяем, пока не заполнятся все ячейки во второй строке. Звучит всё это пугающе, но не сдаёмся.