Заполни пропуски

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha\) .

Дано: \(\triangle ABC, BC=a, AC=b, \angle С=\alpha, S\) — площадь треугольника.

Доказать: \( S\_{ \bigtriangleup ABC} = \dfrac{1}{2}AC \cdot BC \cdot \sin \angle С\) .

Доказательство.

1. Проведём в \(\triangle ABC \) высоту \(AК, АК=h\) .

Тогда \(S\_{ \bigtriangleup ABC} = \dfrac{1}{2}BC \cdot h\) .

2. Если \(\angle С \) — острый, то из \(\: \bigtriangleup ACK: h=AK=AC\cdot\sin C=b\sin\alpha\) .

Если \(\angle С \) — тупой, то из \(\: \bigtriangleup ACK: h=\) [ ] \(=AC\cdot\sin ACK=\) [ ] \(\sin(180-\alpha)=\) [ ].

Если \(\angle С \) — прямой, то из \(\: \bigtriangleup ACK: h=\) [ ] \(=AC=\) [ ] \(=b\cdot 1=b \sin(90)=\) [ ].

То есть во всех случаях \(h=b\sin\alpha\) .

Подставим в формулу площади и получим: \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha\) .

Что и требовалось доказать.