Реши задачу

Периметр правильного треугольника равен \(27\) см. Вычисли:

а) радиус окружности, описанной около этого треугольника;

б) диаметр окружности, вписанной в него.

Если при решении задачи используются дробные числа, то запиши их в форме десятичных дробей

Решение.

а) Так как треугольник правильный и \(P\_{\triangle}=\) [ ] см, то сторона треугольника \(a\_3\) равна [ ] см. Так как радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен \({R = \cfrac{a\_n}{2\sin \cfrac{180\degree}{n}}}\) , то \(R=\) [ ][ \(-\) | \(+\) | \(\cdot\) | \(\div\) | \(=\) ][ ] \(\sin\) [ ] \(\degree\) . Тогда \(R=\) [ ] \(\sqrt3\) см.

б) Так как требуется найти диаметр вписанной в данный треугольник окружности, то вычислим её радиус по формуле \(r = \cfrac{a\_n}{2\tg\cfrac{180\degree}{n}}\) , тогда \(r =\) [ ][ \(-\) | \(+\) | \(\cdot\) | \(\div\) | \(=\) ][ ] \(\tg\) [ ] \(\degree\) . Значит, \(r =\) [ ] \(\sqrt3\) см, \(d=\) [ ] \(\sqrt3\) см.

Следовательно, радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен [ ] \(\sqrt3\) см, диаметр окружности, вписанной в него, — [ ] \(\sqrt3\) см.

Ответ: а) радиус окружности, описанной около треугольника, равен [ ] \(\sqrt3\) см, б) диаметр окружности, вписанной в него, — [ ] \(\sqrt3\) см.