Задание

Ознакомься с примером решения

После прочтения текста переходи к следующему заданию. Вводить ответ здесь не требуется.

Упрости выражение \dfrac{1 - \sin^4x - \cos^4x}{1 - \sin^6 x - \cos^6x}.

Решение. Выделив полный квадрат, получим:

{\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x\mathrlap{\,=}} { = 1 - \dfrac{1}{2} \sin^2 2x}.

Воспользуемся формулой суммы кубов и результатом предыдущего преобразования.

{\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 + \cos^2 x) (\sin^4 x \mathrlap{\:-}} {- \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)\mathrlap{\,=}} { = (\sin^4 x + \cos^4 x) - \sin^2 x \cos^2 x \raisebox{-1em}{$\,$}\mathrlap{\,=}} {=\left(1 - \dfrac{1}{2} \sin^2 2x \right) - \dfrac{1}{4} \sin^2 2x \mathrlap{\,=}} {= 1 - \dfrac{3}{4} \sin^2 2x}.

Дробь примет вид

\dfrac{1- \left(1- \frac{1}{2}\sin^2 2x\right)}{1- \left(1- \frac{3}{4}\sin^2 2x\right)} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \sin^2 2x}{\dfrac{3}{4}\sin^22x} = \dfrac{2}{3}.

Данное преобразование верно, если \sin 2x \ne 0, т. е. при x \ne \dfrac{\pi k}{2}, k \in \Z.