Задание

Ознакомься с примером

При переходе к уравнению-следствию возможно появление корней, не являющихся корнями исходного уравнения (посторонних для исходного уравнения). При таком способе решения уравнения обязательной частью решения является проверка: являются ли найденные числа корнями исходного уравнения.

Пусть k — данное натуральное число, a — данное число, такое, что a \gt 0 и a\ne 1. Справедливы следующие утверждения:

Следствием уравнения f (x)=g (x) является уравнение (f (x))^{2k}=(g (x))^{2k}.

Следствием уравнения log_a f (x)=log_a g (x) является уравнение f (x)=g (x).

Следствием уравнения f (x)+\varphi (x)=g (x)+\varphi (x) является уравнение f (x)=g (x).

Реши уравнение:

\sqrt{x-1} = x-3. (1)

Решение.

Возведя обе части уравнения (1) в квадрат, получим уравнение

x-1 = {(x-3)}^2, (2)

которое по утверждению 1 является следствием уравнения (1). Применяя формулу квадрата суммы, перенося все члены уравнения (2) в правую часть и приводя подобные члены многочлена, перепишем уравнение (2) в виде

x^2 - 7x + 10 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет два корня: 5 и 2. Проверим, являются ли числа 5 и 2 корнями уравнения (1). Так как \sqrt{5-1} = 5-3, a \sqrt{2-1} \ne 2 - 3, то число 5 является корнем уравнения (1), а число 2 нет.

Ответ: 5.