Основано на упр. 3, стр. 6

Заполни пропуски в решении

Докажи, что функция \(y=\ctg x \sin 2x\) ограничена.

Решение. Для того, чтобы доказать, что функция \(y=\ctg x \sin 2x\) ограничена, нужно найти такое положительное число \(C\) , чтобы для любого значения \(x\) из области определения функции выполнялось неравенство \(|\ctg x \sin 2x| \le C\) . Область определения функции — значения \(x\not = \pi n\) , \(n\in \Z\) .

Преобразуем выражение \(\ctg x \sin 2x\) :

\(\ctg x \sin 2x=\dfrac{\cos x}{\sin x}\cdot 2\sin x \cos x=2\cos^{2}x\) .

Так как [ ] \(\le \cos\, x \le\) [ ], [ ] \(\le \cos^{2}x \le \) [ ], то для любого \(x\) из области определения выполняется неравенство [ ] \(\le 2\cos^{2}x \le \) [ ], [ ] \(\le y \le \) [ ], следовательно, и функция ограничена на области определения.