Задание

Основано на упр. 2, стр. 12

Запиши ответы

Докажи, что функция f(x)=\sqrt{2x-3} возрастает на всей области определения, т. е. на промежутке [1,5; +\infty).

Решение. Пусть \leqslant x_1\lt x_2. Докажем, что f(x_1)\lt f(x_2). Для этого определим знак разности f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{2x_1-3}-\sqrt{2x_2-3}. Умножим и разделим эту разность на положительное число \sqrt{2x_1-3}+\sqrt{2x_2-3} (корни не обращаются в нуль одновременно):

f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{2x_1-3}-\sqrt{2x_2-3}=\dfrac{2(x_1-x_2)}{\sqrt{2x_1-3}+\sqrt{2x_2-3}}.

Числитель полученной дроби отрицательный, так как x_1 x_2, знаменатель положительный, поэтому f(x_1)-f(x_2)\lt , т. е. f(x_1)\lt f(x_2).

Итак, большему значению аргумента из промежутка соответствует большее значение функции, следовательно, функция на этом промежутке возрастает.