Задание

Основано на упр. 1, стр. 31.

Доказательство

Выясни, является ли последовательность, заданная формулой b_n = 2(-3)^{-n} своего n-го члена, бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Решение. Докажем, что последовательность является , знаменатель которой имеет модуль меньше 1. Для этого рассмотрим частное:

\cfrac{b_{n+1}}{b_n} = \cfrac{2 \cdot (-3)^{-(n+1)}}{2(-3)^{-n}} = (-3)^{-(n+1)+n} = (-3)^{-1} = -\cfrac{1}{3} = .

Так как \bigg| - \cfrac{1}{3} \space \bigg| \lt , последовательность является бесконечно геометрической прогрессией.