Заполни пропуски

Найди все значения параметра \(b\) , при каждом из которых уравнение \(\nobreak{\cfrac{x^3 - 6x^2 + 3x}{|x|} = b \ (1)}\) имеет ровно три корня.

Решение.

Рассмотрим функцию \(f(x) = \cfrac{x^3 - 6x^2 + 3x}{|x|}\) . Она определена для всех \(x\not=0\) . Для \(x \gt 0\) функцию \(y = f(x)\) можно задать формулой \(y = x^2 - 6x + 3\) . Графику функции \(f(x)\) принадлежат лишь те точки параболы \(y = x^2 - 6x + 3\) с вершиной \((3;-6)\) , для который \(x \gt 0\) . Для \(x \lt 0\) функцию \(y = f(x)\) можно задать формулой \(y = -x^2 + 6x -3\) .

Графику функции \(y=f(x)\) [ ] лишь те точки параболы \(y = x^2 + 6x - 3\) c вершиной \((3;6)\) , для которых \(x \lt 0\) (эта парабола симметрична параболе \(y = x^2 - 6x + 3\) относительно оси \(Ox\) ).

График функции  \(y = f(x)\)  изображён на рисунке  \(19\) .     

Уравнение функции \((1)\) имеет ровно [ ] корня только в том случае, когда [ ] \(y=b\) пересекает график функции \(y = f(x)\) ровно в трёх точках, то есть только при \(b \in (-6; -3)\) .

Ответ: \(b \in (-6; -3)\) .