Есть \(16\) монеток по \(2\) рубля и \(29\) монеток по \(5\) рублей. Какое наименьшее количество монеток по \(1\) рублю нужно добавить в набор, чтобы можно было получить любую целую сумму от \(1\) до \(180\) включительно? Решите задание, заполнив пустые пропуски.

Решение
Сумма монеток в изначальном наборе равна 29 · 5 + 16 · 2З = ... рублей, значит, чтобы получить 180 рублей, необходимо добавить хотя бы ... монетки по 1 рублю.
Покажем, что 3 монеток по ... рублю достаточно. Сначала будем собирать любую сумму от 1 до 35 рублей монетками по 1 и ... рубля:
- Если нужно набрать ... число до 32 включительно, то можно получить его монетками по 2 рубля.
- Если нужно набрать 34, то его можно получить из ... монеток по 2 рубля и двух монеток по 1 рублю.
- Если нужно набрать ... число, то сначала возьмём монетку в 1 рубль. Тогда останется добрать четную сумму от 0 до 34 включительно. Её можно собрать используя не более ... монеток по 1 рублю.
Соберём любое число от 36 до 180.
Для любого числа из этого промежутка будем сначала брать монетки по ... рублей, пока не останется необходимая сумма в пределах от 0 до 35 рублей, которую можно собирать из монеток по 1 и 2 рубля.
Заметим, что монетами по 5 рублей мы можем собрать любое ... 5 число от 5 до 5 · 29 = ... . Тогда любую сумму от 36 до 180 можно уменьшить хотя бы до 35 рублей, так как 180 – 45 = ... .
Таким образом, можно собрать любую целую сумму от 1 до 180 рублей включительно.
Ответ: ... монетки.