Докажитеорему

Пусть \(a\) , \(b\) и \(c\) — сторонытреугольника, причём \(a\) — егонаибольшаясторона; если \(a^{2}\ltb^{2}+c^{2}\) , тотреугольникостроугольный; если \(a^{2}\gtb^{2}+c^{2}\) , тотреугольниктупоугольный; если \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\) , тотреугольникпрямоугольный.

Доказательство:

Потеоремекосинусов:

\(a^{2}=\) [ ] \(+\) [ ] \(-2bc\cos\alpha\) .

Отсюда \(2bc\cos\alpha=b^{2}+c^{2}-a^{2}\) .

Если \(a^{2}\ltb^{2}+c^{2}\) , то \(b^{2}+c^{2}−a^{2}\) [ ] \(0\) .Следовательно, \(2bc\cos\alpha\) [ ] \(0\) , т.е. \(\cos\alpha\) [ ] \(0\) .Поэтомуугол \(\alpha\) — [ ].

Поскольку \(a\) — наибольшаясторонатреугольника, топротивнеёлежит[ ]угол, который, какмыдоказали, является[ ].Следовательно, вэтомслучаетреугольникявляется[ ].

Если \(a^{2}\gtb^{2}+c^{2}\) , то \(b^{2}+c^{2}−a^{2}\) [ ] \(0\) .Значит, \(2bc\cos\alpha\lt\) [ ], т.е. \(\cos\alpha\) [ ] \(0\) .

Следовательно, угол \(\alpha\) — [ ].Вэтомслучаетреугольникявляется[ ].

Если \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\) , то \(2bc\cos\alpha\) [ ] \(0\) .Следовательно, \(\cos\alpha\) [ ] \(0\) .Отсюда \(\alpha=\) [ ] \(^\circ\) .

Вэтомслучаетреугольникявляется[ ].