Докажи теорему Пусть a, b и c — стороны треугольника, причём a — его наибольшая сторона; если a^{2} \lt b^{2} + c^{2}, то треугольник остроугольный; если a^{2} \gt b^{2} + c^{2}, то треугольник тупоугольный; если a^{2} = b^{2} + c^{2}, то треугольник прямоугольный. Доказательство: По теореме косинусов: a^{2} = + -2bc \cos \alpha . Отсюда 2bc \cos \alpha = b^{2}+c^{2}-a^{2}. Если a^{2} \lt b^{2} + c^{2}, то b^{2} + c^{2} − a^{2} 0. Следовательно, 2bc \cos \alpha 0, т. е. \cos \alpha 0. Поэтому угол \alpha —. Поскольку a — наибольшая сторона треугольника, то против неё лежит угол, который, как мы доказали, является . Следовательно, в этом случае треугольник является . Если a^{2} \gt b^{2} + c^{2}, то b^{2} + c^{2} − a^{2} 0. Значит, 2bc \cos \alpha \lt , т. е. \cos \alpha 0. Следовательно, угол \alpha —. В этом случае треугольник является . Если a^{2} = b^{2} + c^{2}, то 2bc \cos \alpha 0. Следовательно, \cos \alpha 0. Отсюда \alpha = ^\circ. В этом случае треугольник является .

Задание

Докажитеорему

Пусть \(a\) , \(b\) и \(c\) — сторонытреугольника, причём \(a\) — егонаибольшаясторона; если \(a^{2}\ltb^{2}+c^{2}\) , тотреугольникостроугольный; если \(a^{2}\gtb^{2}+c^{2}\) , тотреугольниктупоугольный; если \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\) , тотреугольникпрямоугольный.

Доказательство:

Потеоремекосинусов:

\(a^{2}=\) [ ] \(+\) [ ] \(-2bc\cos\alpha\) .

Отсюда \(2bc\cos\alpha=b^{2}+c^{2}-a^{2}\) .

Если \(a^{2}\ltb^{2}+c^{2}\) , то \(b^{2}+c^{2}−a^{2}\) [ ] \(0\) .Следовательно, \(2bc\cos\alpha\) [ ] \(0\) , т.е. \(\cos\alpha\) [ ] \(0\) .Поэтомуугол \(\alpha\) — [ ].

Поскольку \(a\) — наибольшаясторонатреугольника, топротивнеёлежит[ ]угол, который, какмыдоказали, является[ ].Следовательно, вэтомслучаетреугольникявляется[ ].

Если \(a^{2}\gtb^{2}+c^{2}\) , то \(b^{2}+c^{2}−a^{2}\) [ ] \(0\) .Значит, \(2bc\cos\alpha\lt\) [ ], т.е. \(\cos\alpha\) [ ] \(0\) .

Следовательно, угол \(\alpha\) — [ ].Вэтомслучаетреугольникявляется[ ].

Если \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\) , то \(2bc\cos\alpha\) [ ] \(0\) .Следовательно, \(\cos\alpha\) [ ] \(0\) .Отсюда \(\alpha=\) [ ] \(^\circ\) .

Вэтомслучаетреугольникявляется[ ].

Похожие

Тот же тест