Докажите, что если прямая не проходит через вершины треугольника и пересекает одну его сторону, то она обязана пересечь ещё одну сторону треугольника. Подставьте в прямоугольнике слова по смыслу.

Пусть прямая l ... сторону AB треугольника ABC \(рис\. 1\). Рассмотрим, как могут быть расположены точки A, B и C относительно самой прямой l.
Прямая l ... всю плоскость на две ... ... . Так как по условию теоремы она пересекает отрезок AB, то концы этого отрезка \(точки A и B\) должны лежать по ... стороны от прямой l, то есть находиться в разных от неё ... . Третья вершина треугольника \(точка C\) ... лежать на данной прямой ... . Значит, она лежит в одной из этих двух полуплоскостей.
Но тогда могут быть только две возможности: либо точка C лежит ... с точкой A, либо же точка C лежит в одной полуплоскости с точкой B.
В первом случае отрезок ... обязан ... прямую l по аксиоме полуплоскостей \(рис\. 2\), так как его концы лежат по разные стороны от этой прямой. Тогда прямая l пересекает стороны AB и BC нашего треугольника.
Во втором случае точки A и C будут лежать по разные стороны от прямой, и тогда по аксиоме полуплоскостей уже отрезок ... пересечет l \(рис\. 3\). Получится, что в этом случае прямая l будет пересекать стороны AB и AC треугольника ABC.