Докажи второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A_1B_1C_1, у которых \dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{BC}{B_1C_1}=k и \angle B=\angle B_1. Докажем, что \triangle ABC \sim \triangle . Если k= , то AB= и BC= , а следовательно, треугольники ABC и равны по признаку равенства треугольников, т. е. эти треугольники . Пусть, например, k \gt , т. е. AB \gt и BC \gt . На сторонах BA и BC отметим соответственно точки A_2 и C_2 так, что BA_2= и BC_2= . Тогда \dfrac{AB}{BA_2}= . Покажем, что A_2C_2\,||\,AC. Допустим, что это не так. Тогда на стороне BC отметим точку M такую, что A_2M\,|| . Имеем: \dfrac{AB}{BA_2} = . Но \dfrac{AB}{BA_2}= BC, делённое на , тогда \dfrac{BC}{BC_2}= BC, делённое на , т. е. BC_2 = . Следовательно, буквами M и обозначена одна и та же точка. Тогда A_2C_2\,|| . По лемме о получаем, что \triangle ABC \sim \triangle . Треугольники и A_1B_1C_1 равны по признаку равенства треугольников. Отсюда \triangle ABC \sim \triangle .

Задание

Заполни пропуски в доказательстве

Докажи второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A\_1B\_1C\_1\) , у которых \(\dfrac{AB}{A\_1B\_1}=\dfrac{BC}{B\_1C\_1}=k\) и \(\angle B=\angle B\_1\) . Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle\) [ ].

Если \(k=\) [ ], то \(AB=\) [ ] и \(BC=\) [ ], а следовательно, треугольники \(ABC\) и [ ] равны по [первому|второму |третьему]признаку равенства треугольников, т. е. эти треугольники [ ].

Пусть, например, \(k \gt\) [ ], т. е. \(AB \gt\) [ ] и \(BC \gt\) [ ]. На сторонах \(BA\) и \(BC\) отметим соответственно точки \(A\_2\) и \(C\_2\) так, что \(BA\_2=\) [ ]и \(BC\_2=\) [ ]. Тогда \(\dfrac{AB}{BA\_2}=\) [ ].

Покажем, что \(A\_2C\_2\,||\,AC\) . Допустим, что это не так. Тогда на стороне \(BC\) отметим точку \(M\) такую, что \(A\_2M\,||\) [ ]. Имеем: \(\dfrac{AB}{BA\_2} =\) [ ]. Но \(\dfrac{AB}{BA\_2}=\) \(BC\) , делённое на [ ], тогда \(\dfrac{BC}{BC\_2}=\) \(BC\) , делённое на[ ], т. е. \(BC\_2 =\) [ ]. Следовательно, буквами \(M\) и [ ] обозначена одна и та же точка. Тогда \(A\_2C\_2\,||\) [ ].

По лемме о [ ] получаем, что \(\triangle ABC \sim \triangle\) [ ]. Треугольники [ ] и \(A\_1B\_1C\_1\) равны по [первому|второму |третьему] признаку равенства треугольников. Отсюда \(\triangle ABC \sim \triangle\) [ ].

Похожие

Тот же тест