Заполни пропуски в доказательстве

Докажи второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(A\_1B\_1C\_1\) , у которых \(\dfrac{AB}{A\_1B\_1}=\dfrac{BC}{B\_1C\_1}=k\) и \(\angle B=\angle B\_1\) . Докажем, что \(\triangle ABC \sim \triangle\) [ ].

Если \(k=\) [ ], то \(AB=\) [ ] и \(BC=\) [ ], а следовательно, треугольники \(ABC\) и [ ] равны по [первому|второму |третьему]признаку равенства треугольников, т. е. эти треугольники [ ].

Пусть, например, \(k \gt\) [ ], т. е. \(AB \gt\) [ ] и \(BC \gt\) [ ]. На сторонах \(BA\) и \(BC\) отметим соответственно точки \(A\_2\) и \(C\_2\) так, что \(BA\_2=\) [ ]и \(BC\_2=\) [ ]. Тогда \(\dfrac{AB}{BA\_2}=\) [ ].

Покажем, что \(A\_2C\_2\,||\,AC\) . Допустим, что это не так. Тогда на стороне \(BC\) отметим точку \(M\) такую, что \(A\_2M\,||\) [ ]. Имеем: \(\dfrac{AB}{BA\_2} =\) [ ]. Но \(\dfrac{AB}{BA\_2}=\) \(BC\) , делённое на [ ], тогда \(\dfrac{BC}{BC\_2}=\) \(BC\) , делённое на[ ], т. е. \(BC\_2 =\) [ ]. Следовательно, буквами \(M\) и [ ] обозначена одна и та же точка. Тогда \(A\_2C\_2\,||\) [ ].

По лемме о [ ] получаем, что \(\triangle ABC \sim \triangle\) [ ]. Треугольники [ ] и \(A\_1B\_1C\_1\) равны по [первому|второму |третьему] признаку равенства треугольников. Отсюда \(\triangle ABC \sim \triangle\) [ ].