Заполни пропуски

Докажи неравенство \({a^3-2a^2+4a-8 \geq 0}\) , если \(a \geq 2\) .

Доказательство.

Разложим левую часть неравенства на множители и получим произведение двух выражений:

\(a^3-2a^2+4a-8 = a^2(a \) [ ] \({)\,\mathrlap{\,+}}\) \({+~4(a}\) [ ] \()=\) \((a\) [ ] \()(a^2 \) [ ] \()\) .

Оно является положительным, если оба множителя одновременно положительны либо отрицательны.

Так как \(a \geq 2\) , то \(a - 2\) [ \(\geq\) | \(\leq\) ] \(0\) .

Второй множитель \(a^2 \) [ ][положителен|отрицателен] при любых значениях переменной \(a\) .

Следовательно, при \(a \geq 2\) выражение

\((a\) [ ] \()(a^2 \) [ ] \()\) [ \(\geq\) | \(\leq\) ] \(0.\) Значит:

\(a^3-2a^2+4a-8\) [ \(\geq\) | \(\leq\) ] \(0\) .