Докажи, что функция f(x)=\dfrac{8}{2-x} возрастает на промежутке (2;+\infty ). Пусть x_1 и x_2 — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку (2;+\infty ), причём x_2\gt x_1. Рассмотрим разность f(x_2)-f(x_1). Имеем: f(x_2)-f(x_1)=\dfrac{8}{2-x_2}-\dfrac{8}{2-x_1}=\dfrac{16-8x_1-16+8x_2}{(2-x_2)(2-x_1)}=\dfrac{8x_2-8x_1}{(2-x_2)(2-x_1)}=\dfrac{8(x_2-x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)}. Поскольку x_2\in (2;+\infty ) и x_1\in (2;+\infty ), то 2-x_2 0; 2-x_1 0. Поскольку x_2\gt x_1, то x_2-x_1 0. Следовательно, \dfrac{8(x_2-x_1)}{(2-x_2)(2-x_1)} 0; f(x_2)-f(x_1) 0; f(x_2) f(x_1), то есть данная функция возрастает на промежутке (2;+\infty).

Задание

Заполни пропуски

Докажи, что функция \(f(x)=\dfrac{8}{2-x}\) возрастает на промежутке \((2;+\infty )\) .

Пусть \(x\_1\) и \(x\_2\) — произвольные значения аргумента, принадлежащие промежутку \((2;+\infty )\) , причём \(x\_2\gt x\_1\) . Рассмотрим разность \(f(x\_2)-f(x\_1)\) .

Имеем: \(f(x\_2)-f(x\_1)=\dfrac{8}{2-x\_2}-\dfrac{8}{2-x\_1}=\dfrac{16-8x\_1-16+8x\_2}{(2-x\_2)(2-x\_1)}=\dfrac{8x\_2-8x\_1}{(2-x\_2)(2-x\_1)}=\dfrac{8(x\_2-x\_1)}{(2-x\_2)(2-x\_1)}\) .

Поскольку \(x\_2\in (2;+\infty )\) и \(x\_1\in (2;+\infty )\) , то \(2-x\_2\) [ ] \(0\) ; \(2-x\_1\) [ ] \(0\) .

Поскольку \(x\_2\gt x\_1\) , то \(x\_2-x\_1\) [ ] \(0\) .

Следовательно, \(\dfrac{8(x\_2-x\_1)}{(2-x\_2)(2-x\_1)}\) [ ] \(0\) ; \(f(x\_2)-f(x\_1)\) [ ] \(0\) ; \(f(x\_2)\) [ ] \(f(x\_1)\) , то есть данная функция возрастает на промежутке \((2;+\infty\) ).

Похожие

Тот же тест