Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны. Через середины сторон AB и AD проведены прямые, перпендикулярные противоположным сторонам CD и CB соответственно. Докажи, что эти прямые и прямая AC имеют общую точку. Доказательство. Пусть M, N и K — середины отрезков AB, AD и AC соответственно, а P и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точек M и N соответственно на стороны CD и BC четырёхугольника ABCD. По теореме о средней линии треугольника MN\parallel , MK\parallel BC и NK\parallel . Поэтому высоты треугольника MNK лежат на прямых AC, NQ и . Следовательно, эти прямые пересекаются в одной точке.

Задание

Заполни пропуски

Диагонали выпуклого четырехугольника \(ABCD\) взаимно перпендикулярны. Через середины сторон \(AB\) и \(AD\) проведены прямые, перпендикулярные противоположным сторонам \(CD\) и \(CB\) соответственно. Докажи, что эти прямые и прямая \(AC\) имеют общую точку.

Доказательство.

Пусть \(M\) , \(N\) и \(K\) — середины отрезков \(AB\) , \(AD\) и \(AC\) соответственно, а \(P\) и \(Q\) — основания перпендикуляров, опущенных из точек \(M\) и \(N\) соответственно на стороны \(CD\) и \(BC\) четырёхугольника \(ABCD\) .

По теореме о средней линии треугольника \(MN\parallel\) [ ], \(MK\parallel BC\) и \(NK\parallel \) [ ]. Поэтому высоты треугольника \(MNK\) лежат на прямых \(AC\) , \(NQ\) и [ ].

Следовательно, эти прямые пересекаются в одной точке.

Похожие

Тот же тест