Заполни пропуски в доказательстве

Дано: куб \(ABCDA\_1B\_1C\_1D\_1 \) .

Доказать: \(A\_1C \perp DC\_1B\) ; в каком отношении плоскость \(DC\_1B\) делит отрезок \(A\_1C\) ?

Доказательство:

Так как \(A\_1B\_1 \perpBB\_1C\_1\) , то отрезок \(B\_1C\) является проекцией наклонной \(A\_1C\) на плоскость [ \(BB\_1C\_1\) | \(BB\_1A\) ]. Диагонали квадрата также перпендикулярны. По теореме отрёх перпендикулярах \(A\_1C\perp\) [ \(BC\_1\) | \(B\_1C\) ].

Аналогично докажи, что \(A\_1C \perp\) [ \(BD\) | \(B\_1D\) ]. Поэтому \(A\_1C \perp DC\_1B\) .

Рассмотри прямоугольник \(AA\_1C\_1C\) . Отрезок \(A\_1C\) пересекается с плоскостью \(DC\_1B\) в точке \(K\) . Треугольники \(CKO, A\_1KC\_1\) подобны. Почему? Получаем, \(CK:KA\_1=1:\) [ \(2\) | \(3\) ]. Поэтому точка \(K\) или плоскость \(DC\_1B\) делит отрезок \(A\_1C\) в отношении \(1:2\) , считая от точки \( С\) .