Решить уравнение |2x+1|+|x–2|=6. Решение. 2x+1=0 при x=-\dfrac{1}{2}; x-2=0 при x=2. Знаки подмодульных выражений на интервалах показаны в таблице: Исходное уравнение равносильно совокупности трех систем: \begin{cases} x \lt -\dfrac{1}{2}, \\ -2x-1-x+2=6; \end{cases} \begin{cases} -\dfrac{1}{2} \le x \lt 2, \\ 2x+1-x+2=6; \end{cases} \begin{cases} x \ge 2, \\ 2x+1+x-2=6. \end{cases} После равносильных преобразований полученных систем заданное уравнение заменим совокупностью следующих систем: \begin{cases} x \lt -\dfrac{1}{2}, \\ x=-1\dfrac{2}{3}; \end{cases} \begin{cases} -\dfrac{1}{2} \le x \lt 2, \\ x=3; \end{cases} \begin{cases} x \ge 2, \\ x=2\dfrac{1}{3}. \end{cases} Решение имеют системы: Первая Вторая Третья Ответ: x_1= , x_2= . Решение задачи можно оформить иначе. Из определения модуля следует, что |2x+1|= \begin{cases} -2x-1, если \ x \lt -\dfrac{1}{2}, \\ 2x+1, если \ x \ge -\dfrac{1}{2}; \end{cases} |x-2|= \begin{cases} 2-x, если \ x \lt 2, \\ x-2, если \ x \ge 2. \end{cases} Пусть y=|2x+1|+|x-2|. Тогда получаем: y=-2x-1+2-x= при x \lt -\dfrac{1}{2}; y=2x+1+2-x= при -\dfrac{1}{2} \le x \lt 2; y=2x+1+x-2= при x \ge 2. В первом случае имеем уравнение -3x+1=6, откуда находим x= — корень исходного уравнения, так как \lt -\dfrac{1}{2}. Во втором случае x+3= ; x= не является корнем, так как \gt 2. В третьем случае 3x-1=6; x= — корень исходного уравнения, так как \ge 2. Ответ: x_1= , x_2= . Замечание. Условие x=-\dfrac{1}{2} можно было включить в неравенство первой системы, а условие x=2 — в неравенство второй (что не повлияло бы на результат решения).
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Заполнипропуски

Решитьуравнение

\(|2x+1|+|x–2|=6\) .

Решение. \(2x+1=0\) при \(x=-\dfrac{1}{2}\) ; \(x-2=0\) при \(x=2\) .Знакиподмодульныхвыраженийнаинтервалахпоказанывтаблице:

Исходноеуравнениеравносильносовокупноститрехсистем:

\(\begin{cases}x\lt-\dfrac{1}{2}, \\-2x-1-x+2=6; \end{cases}\)

\(\begin{cases}-\dfrac{1}{2}\lex\lt2, \\2x+1-x+2=6; \end{cases}\)

\(\begin{cases}x\ge2, \\2x+1+x-2=6.\end{cases}\)

Послеравносильныхпреобразованийполученныхсистемзаданноеуравнениезаменимсовокупностьюследующихсистем:

\(\begin{cases}x\lt-\dfrac{1}{2}, \\x=-1\dfrac{2}{3}; \end{cases}\) \(\begin{cases}-\dfrac{1}{2}\lex\lt2, \\x=3; \end{cases}\) \(\begin{cases}x\ge2, \\x=2\dfrac{1}{3}. \end{cases}\)

Решениеимеютсистемы:

  • Первая
  • Вторая
  • Третья

Ответ:

\(x\_1=\) [ ], \(x\_2=\) [ ].

Решениезадачиможнооформитьиначе.Изопределениямодуляследует, что

\(|2x+1|=\begin{cases}-2x-1, если\x\lt-\dfrac{1}{2}, \\2x+1, если\x\ge-\dfrac{1}{2}; \end{cases}\)

\(|x-2|=\begin{cases}2-x, если\x\lt2, \\x-2, если\x\ge2.\end{cases}\)

Пусть \(y=|2x+1|+|x-2|\) .

Тогдаполучаем:

  1. \(y=-2x-1+2-x=\) [ ]при \(x\lt-\dfrac{1}{2}\) ;
  2. \(y=2x+1+2-x=\) [ ]при \(-\dfrac{1}{2}\lex\lt2\) ;
  3. \(y=2x+1+x-2=\) [ ]при \(x\ge2\) .

Впервомслучаеимеемуравнение

\(-3x+1=6\) ,

откуданаходим \(x=\) [ ] — кореньисходногоуравнения, таккак[ ] \(\lt-\dfrac{1}{2}\) .

Вовторомслучае \(x+3=\) [ ]; \(x=\) [ ]неявляетсякорнем, таккак[ ] \(\gt2\) .

Втретьемслучае \(3x-1=6\) ; \(x=\) [ ] — кореньисходногоуравнения, таккак[ ] \(\ge2\) .

Ответ:

\(x\_1=\) [ ], \(x\_2=\) [ ].

Замечание.Условие \(x=-\dfrac{1}{2}\) можнобыловключитьвнеравенствопервойсистемы, аусловие \(x=2\) — внеравенствовторой(чтонеповлиялобынарезультатрешения).

Тот же тест