Доказать, что при x \gt |y| справедливо равенство y \sqrt{2} \cdot \dfrac{2x + \sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x + \sqrt{x^{2} - y^{2}}}} = \sqrt{(x+y)^{3}} - \sqrt{(x-y)^{3}}. Решение: Преобразуем левую часть равенства. Для преобразования знаменателя воспользуемся формулой \sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a + \sqrt{a^{2}-b}}{2}} + \sqrt{\dfrac{a - \sqrt{a^{2}-b}}{2}}, получим \sqrt{x + \sqrt{x^{2}-y^{2}}} = \sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x^{2}-(x^{2}-y^{2})}}{2}} + \sqrt{\dfrac{x - \sqrt{x^{2}-(x^{2}-y^{2})}}{2}}= \sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x^{2}}}{2}} + \sqrt{\dfrac{x-\sqrt{x^{2}}}{2}} = \sqrt{\dfrac{x + |y|}{2}} + \sqrt{\dfrac{x - |y|}{2}}. Выражение, стоящее в левой части, примет вид y\sqrt{2} \cdot \dfrac{2x + \sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{\dfrac{x+|y|}{2}} + \sqrt{\dfrac{x-|y|}{2}}} = 2y \cdot \dfrac{2x + \sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{x + |y|} + \sqrt{x - |y|}}. Домножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное со знаменателем (избавимся от иррациональности в знаменателе), получим 2y \cdot \dfrac{(2x+\sqrt{x^{2}-y^{2}})(x+|y| - x-|y|)}{(x+|y|)-(x-|y|)} = \dfrac{y}{|y|}(x + |y| + \sqrt{(x+|y|)(x-|y|)} + x - |y|)(\sqrt{x + |y|} - \sqrt{x - |y|}) = \dfrac{y}{|y|}\cdot ((\sqrt{x+|y|})^{3} - \sqrt{x - |y|})^{3}). Так как по условию y \lt x, то все рассуждения справедливы и полученное выражение равно правой части равенства. Действительно, при 0 \lt y \lt x имеем |y| = и \dfrac{y}{|y|} = . Если y \lt 0, то |y| = – y и тогда верно равенство -((\sqrt{x-y})^{3} -(\sqrt{x+y})^{3}) = (\sqrt{x+y})^{3})-\sqrt{x-y})^{3} Исходное равенство .

Задание

Выполнизадание

Доказать, чтопри \(x\gt|y|\) справедливоравенство \(y\sqrt{2}\cdot\dfrac{2x+\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x+\sqrt{x^{2} - y^{2}}}}=\sqrt{(x+y)^{3}} - \sqrt{(x-y)^{3}}.\)

Решение:

Преобразуемлевуючастьравенства.Дляпреобразованиязнаменателявоспользуемсяформулой \(\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\dfrac{a - \sqrt{a^{2}-b}}{2}},\) получим \(\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=\sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x^{2}-(x^{2}-y^{2})}}{2}}+\sqrt{\dfrac{x - \sqrt{x^{2}-(x^{2}-y^{2})}}{2}}=\sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x^{2}}}{2}}+\sqrt{\dfrac{x-\sqrt{x^{2}}}{2}}=\sqrt{\dfrac{x+|y|}{2}}+\sqrt{\dfrac{x - |y|}{2}}.\)

Выражение, стоящеевлевойчасти, приметвид \(y\sqrt{2}\cdot\dfrac{2x+\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{\dfrac{x+|y|}{2}}+\sqrt{\dfrac{x-|y|}{2}}}=2y\cdot\dfrac{2x+\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{x+|y|}+\sqrt{x - |y|}}.\)

Домноживчислительизнаменательдробинавыражение, сопряженноесознаменателем(избавимсяотиррациональностивзнаменателе), получим \(2y\cdot\dfrac{(2x+\sqrt{x^{2}-y^{2}})(x+|y| - x-|y|)}{(x+|y|)-(x-|y|)}=\dfrac{y}{|y|}(x+|y|+\sqrt{(x+|y|)(x-|y|)}+x - |y|)(\sqrt{x+|y|} - \sqrt{x - |y|})=\dfrac{y}{|y|}\cdot((\sqrt{x+|y|})^{3} - \sqrt{x - |y|})^{3}).\)

Таккакпоусловию \(y\ltx\) , товсерассуждениясправедливыиполученноевыражениеравноправойчастиравенства.Действительно, при \(0\lty\ltx\) имеем \(|y|\) =[ ]и \(\dfrac{y}{|y|}\) =[ ].

Если \(y\lt0\) , то \(|y|=–y\) итогдаверноравенство \(-((\sqrt{x-y})^{3} -(\sqrt{x+y})^{3})=(\sqrt{x+y})^{3})-\sqrt{x-y})^{3}\)

Исходноеравенство[ ].

Похожие

Тот же тест