Выполнизадание

Доказать, чтопри \(x\gt|y|\) справедливоравенство \(y\sqrt{2}\cdot\dfrac{2x+\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{x+\sqrt{x^{2} - y^{2}}}}=\sqrt{(x+y)^{3}} - \sqrt{(x-y)^{3}}.\)

Решение:

Преобразуемлевуючастьравенства.Дляпреобразованиязнаменателявоспользуемсяформулой \(\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\dfrac{a - \sqrt{a^{2}-b}}{2}},\) получим \(\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=\sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x^{2}-(x^{2}-y^{2})}}{2}}+\sqrt{\dfrac{x - \sqrt{x^{2}-(x^{2}-y^{2})}}{2}}=\sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x^{2}}}{2}}+\sqrt{\dfrac{x-\sqrt{x^{2}}}{2}}=\sqrt{\dfrac{x+|y|}{2}}+\sqrt{\dfrac{x - |y|}{2}}.\)

Выражение, стоящеевлевойчасти, приметвид \(y\sqrt{2}\cdot\dfrac{2x+\sqrt{x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{\dfrac{x+|y|}{2}}+\sqrt{\dfrac{x-|y|}{2}}}=2y\cdot\dfrac{2x+\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{\sqrt{x+|y|}+\sqrt{x - |y|}}.\)

Домноживчислительизнаменательдробинавыражение, сопряженноесознаменателем(избавимсяотиррациональностивзнаменателе), получим \(2y\cdot\dfrac{(2x+\sqrt{x^{2}-y^{2}})(x+|y| - x-|y|)}{(x+|y|)-(x-|y|)}=\dfrac{y}{|y|}(x+|y|+\sqrt{(x+|y|)(x-|y|)}+x - |y|)(\sqrt{x+|y|} - \sqrt{x - |y|})=\dfrac{y}{|y|}\cdot((\sqrt{x+|y|})^{3} - \sqrt{x - |y|})^{3}).\)

Таккакпоусловию \(y\ltx\) , товсерассуждениясправедливыиполученноевыражениеравноправойчастиравенства.Действительно, при \(0\lty\ltx\) имеем \(|y|\) =[ ]и \(\dfrac{y}{|y|}\) =[ ].

Если \(y\lt0\) , то \(|y|=–y\) итогдаверноравенство \(-((\sqrt{x-y})^{3} -(\sqrt{x+y})^{3})=(\sqrt{x+y})^{3})-\sqrt{x-y})^{3}\)

Исходноеравенство[ ].