Задание

Восстановите порядок решения методом замены переменных системы двух уравнений с двумя переменными \(\begin{cases} 2x+2y+xy=8,\\ x^2+y^2+3x+3y=14.\end{cases}\)

Преобразовать каждое уравнение системы \(\begin{cases} 2(x+y)+xy=8,\\ (x^2+2xy+y^2)-2xy+3(x+y)=14.\end{cases}\)

Получить систему \(\begin{cases} 2(x+y)+xy=8,\\ (x+y)^2-2xy+3(x+y)=14.\end{cases}\)

Выполнить замену переменных \(x+y=m, xy=n.\)

Переписать систему в виде \(\begin{cases} 2m+n=8,\\ m^2-2n+3m=14.\end{cases}\)

Выразить \(n\) через \(m\) из первого уравнения системы \(\begin{cases} n=8-2m,\\ m^2-2n+3m=14.\end{cases}\)

Подставить вместо \(n\) выражение \(8-2m\) во второе уравнение системы \(\begin{cases} n=8-2m,\\ m^2-2(8-2m)+3m=14.\end{cases}\)

Преобразовать второе уравнение системы и найти его корни: \(m^2+7m-30=0, m_1=3,m_2=-10.\)

Найти соответствующие значения \(n:n_1=8-2\cdot3=2,n_2=8-2\cdot(-10)=28.\)

Выполнить обратную замену: \(\begin{cases} x+y=3,\\ xy=2;\end{cases}\) и \(\begin{cases} x+y=-10,\\ xy=28.\end{cases}\)

Решить систему \(\begin{cases} x+y=3,\\ xy=2.\end{cases}\)

Записать решения системы: \(x_1=2,y_1=1\) и \(x_2=1,y_2=2.\)

Решить систему \(\begin{cases} x+y=-10,\\ xy=28.\end{cases}\)

Записать, что система не имеет решений.

Записать ответ.

Ответ: \((2;1),(1;2).\)