Заполни пропуски в доказательстве
Теорема.
Длина вектора \(\lambda\vec{a}\) равна \(|\lambda|\cdot|\vec{a}|\) .
Если \(\lambda \gt 0\) , направление вектора \(\lambda\vec{a}\) совпадает с направлением вектора \(\vec{a}\) .
Если \(\lambda \lt 0\) , направление вектора \(\lambda\vec{a}\) противоположно направлено вектору \(\vec{a}\) .
Доказательство.
Пусть вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((a\_1; a\_2)\) . Обозначим точкой \(O\) начало координат, точкой \(A\) конец вектора \(\vec{a}\) .
Тогда вектор \(\lambda\vec{a}\) имеет координаты
\((\) [ \(\lambda a\_1\) | \(\lambda a\_2\) ] \(;\) [ \(\lambda a\_1\) | \(\lambda a\_2\) ] \()\) . Обозначим точкой \(B\) конец вектора \(\lambda a\) .
Отрезки \(OA\) и \(OB\) лежат на одной прямой.
Если \(\lambda \gt 0\) , то координаты точки \(B\) имеют те же знаки, что и координаты точки \(A\) .
Значит, так как они лежат на одной прямой, направления векторов \(\vec{a}\) и \(\lambda \vec{a}\) совпадают.
Если же \(\lambda \lt 0\) , то знаки координат точки \(B\) противоположны знакам координат точки \(A\) .
Значит, вектора \(\vec{a}\) и \(\lambda\vec{a}\) противоположно направлены.
Длина вектора \(\vec{a}\) равна \(|\vec{a}| = \) [ \(\sqrt{a\_1^2 + a\_2^2}\) | \(\sqrt{a\_1^2 - a\_2^2}\) | \(\sqrt{a\_1 + a\_2}\) | \(\sqrt{a\_1 - a\_2}\) ].
Тогда \(|\lambda\vec{a}| = \) [ \(\sqrt{(\lambda a\_1)^2 + (\lambda a\_2)^2}\) | \(\sqrt{(\lambda a\_1)^2 - (\lambda a\_2)^2}\) | \(\sqrt{\lambda a\_1 + \lambda a\_2}\) | \(\sqrt{\lambda a\_1 - \lambda a\_2}\) ].
Внутри корня вынесем \(\lambda^2\) за скобки. Получим \({|\lambda\vec{a}| = \sqrt{\lambda^2(a\_1^2 + a\_2^2)} \,\mathrlap{\,=}}\) \({= \sqrt{\lambda^2}\sqrt{a\_1^2 + a\_2^2} = |\lambda|\cdot|\vec{a}|}\) .