Заполни пропуски в доказательстве

Сочетательное свойство умножения вектора на число

Если \(\lambda \) , \(\mu \) — некоторые числа, \(\vec{a} \) — вектор, то справедливо следующее свойство:

\((\lambda \cdot \mu )\vec{a} =\lambda \cdot (\mu \vec{a} )=\lambda \cdot \mu \vec{a} \) .

Доказательство.

Пусть \(\vec{a} \) имеет координаты \((x;y)\) .

Тогда вектор \(\mu \vec{a} \) имеет координаты \((\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda \mu )\) ] \(x;\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda \mu )\) ] \(y)\) , а вектор \((\lambda \cdot \mu )\vec{a} \) имеет координаты \((\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda \mu )\) ] \(x;\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \((\lambda \mu )\) ] \(y)\) .

Умножим вектор \(\mu \vec{a} \) на \(\lambda \) . Тогда вектор \(\lambda (\mu \vec{a} )\) имеет координаты \((\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \(\lambda \mu \) ] \(x;\) [ \(\lambda \) | \(\mu \) | \(\lambda \mu \) ] \(y)\) .

Так как \((\lambda \mu )x=\lambda \mu x\) и \((\lambda \mu )y=\lambda \mu y\) , то координаты векторов \((\lambda \cdot \mu )\vec{a} \) и \(\lambda (\mu \vec{a} )\) равны.

Следовательно, \((\lambda \cdot \mu )\vec{a} =\lambda (\mu \vec{a} )\) . И всё это равно вектору \(\lambda \cdot \mu \vec{a} \) .