Реши уравнения

\(\sqrt{x+4}=8-x\) .

\(\text{I}\) способ

Возведя исходное уравнение в квадрат, получим его следствие:

\(x+4=64-16x+x^2\) ,

\(x^2-17x+60=0\) .

Решив это уравнение, получим два его корня: \(x\_1=5\) , \(x\_2=12\) . Проверкой убеждаемся, что число \(5\) является корнем исходного уравнения, так как \(\sqrt{5+4}=8-5\) а число \(12\)  — нет, так как \(\sqrt{12+4}\ne 8-12\) .

\(\text{II}\) способ

Введя новое неизвестное \(t=\sqrt{x+4}\) , где \(t\geqslant 0\) (тогда \(t^2=x+4\) , \(x=t^2-4\) , \(8-x=12-t^2\) ), перепишем уравнение в виде:

\(t=12-t^2\) .

Решив полученное уравнение, получим два его корня, из которых только \(t\_1=3\) удовлетворяет условию \(t \geqslant 0\) . Теперь решим уравнение

\(\sqrt{x+4}=3\) .

Это уравнение имеет единственный корень: \(x\_1=5\) . Это и есть единственный корень исходного уравнения.

\(\text{III}\) способ

Построим графики функций \(f(x)=\sqrt{x+4}\) и \(g(x)=8-x\) .

График функции \(y=f(x)\) получим переносом влево графика функции \(y=\sqrt{x}\) . График функции \(y=g(x)\) — прямая, проходящая через точки \((4;4)\) и \((8;0)\) .

Графики пересекаются в единственной точке с абсциссой \(x\_1=5\) , поэтому исходное уравнение имеет единственный корень \(5\) .

Ответ: \(5\) .

Если корней несколько, запиши их в порядке возрастания через точку с запятой. Если корней нет, поставь знак минуса « \(-\) ».

а) \(\sqrt(x +3)=-x-1\) ;

б) \(\sqrt{5-x}=-x-1\) .

Ответ:а) [ ];б) [ ].