Решите уравнение \(79y-23x=1\) в целых числах, заполнив пропуски в решении задачи.

Решение
Выполним деление с остатком 79 = 23 ⋅ 3 + ... . Перепишем исходное уравнение в виде 23x = 79y - ... = \(23 ⋅ **\.\.\.** \+ 10\))y - 1 = 69y + 10y - 1, значит 23x - ... y = 10y - 1.
Левая часть последнего уравнения делится нацело на 23, поэтому должна делится на 23 и правая часть, т. е. 10y - 1 = 23t или 10y = 23t +1, t ∈ Z – новое неизвестное. Полученное уравнение соответствует исходному уравнению, однако коэффициенты при неизвестных в нём уменьшились по модулю. Повторим процедуру уменьшения коэффициентов ещё раз
10y = 23t + 1 = \(10 ⋅ **\.\.\.** \+ 3\)t + 1,
10y - ... t = 3t +1,
3t +1 =10u, u ∈ Z.
Осталось выразить x и y через v. Так как u = 3v + 1, то 3t = 10u - 1 = 10\(3v \+1\) - 1 = 30v + ... , значит, t = 10v + 3.
10y = 23t + 1 = 23\(10v \+ 3\) + 1 = 230v + ... , значит, y = 23v + ... .
23x = 78y - 1 = 79\( **\.\.\.** v \+ 7\) - 1 = 79 ⋅ 23v + ... , значит, x = 79v + ... .
Ответ: {\( **\.\.\.** v \+ 24; 23v \+ 7\)}.