Задание

Реши неравенство

Решим неравенство

\dfrac{x - 1}{x + 2} - \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}} - 2 \ge 0.

Решение.

Обозначив t = \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}}, перепишем неравенство в виде

t^2 - t - 2 \ge 0.

Все решения неравенства есть и все t \le −1, и все t \ge 2. Следовательно, все решения неравенства есть объединение всех решений двух неравенств:

1) \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}} \le - 1 и 2) \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}} \ge 2

Неравенство 1) не имеет решений, так как при всех х, при которых функция \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}} определена, справедливо неравенство \sqrt{\dfrac{x - 1}{x + 2}} \ge 0.

Так как функция \sqrt{u} определена лишь при u \ge 0 и для этих u она возрастает, то неравенство \sqrt{u} \ge \sqrt{4} справедливо тогда и только тогда, когда u \ge 4, поэтому неравен- ство 2) равносильно неравенству \dfrac{x - 1}{x + 2} \ge 4, которое имеет множество решений [ ; ).

Следовательно, неравенство имеет множество решений [ ; ).

Ответ:[ ; ).