Запиши ответы

Решим два неравенства разными способами.

\(x^2-4x+4\lt 0\) ; \((1)\)

\(1)\) вычислим \(D\) :

\(D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 4=0\) ;

\(2)\) квадратный трёхчлен имеет единственный корень: \(x\_0=2\) ;

\(3)\) изобразим число \(x\_0\) на координатной оси и определим знак трёхчлена на каждом интервале:

\(4)\) неравенство \((1)\) не имеет решений.

Ответ: нет решений.

\(x^2-4x+4\gt 0\) ; \((2)\)

\(1)\) \(D=0\) ;

\(2)\) перепишем неравенство в виде

\((x-2)^2\gt 0\) \((3)\) ;

\(3)\) левая часть неравенства \((3)\) положительна при любом значении \(x\) , кроме \(x=2\) ;

\(4)\) решениями неравенств \((3)\) и \((2)\) являются все значения \(x\) такие, что

\(x\in (-\infty ;2)\cup (2;+\infty )\) .

Ответ: \((-\infty ;2)\cup (2;+\infty )\) .

Реши неравенства.

Ответ запиши числовым промежутком. Если у неравенства нет решений, используй знак \(\varnothing\) .

а) \(x^2-6x+9\lt 0\) .

Ответ:[ ].

б) \(x^2+6x+9\gt 0\) .

Ответ:[ ].

в) \(x^2+8x+16\lt 0\) .

Ответ:[ ].

г) \(x^2-8x+16\gt 0\) .

Ответ:[ ].

д) \(x^2-10x+25\lt 0\) .

Ответ:[ ].

е) \(x^2+10x+25\gt 0\) .

Ответ:[ ].

Если неравенства

\(ax^2+bx+c\gt 0\) или \(ax^2+bx+c\lt 0\)

имеют дискриминант \(D=0\) , то квадратный трёхчлен \(ax^2+bx+c\) можно записать в виде

\(a(x-x\_0)^2\) , где \(x\_0=\dfrac{-b}{2a}\) .

Если \(a\gt 0\) , то неравенство \(ax^2+bx+c\gt 0\) имеет множество решений \((-\infty ;x\_0)\cup (x\_0;+\infty )\) , а неравенство \(ax^2+bx+c\lt 0\) не имеет решений.

Случай \(a\lt 0\) можно сводить к случаю \(a\gt 0\) , умножив неравенство на отрицательное число с изменением знака неравенства на противоположный.