Заполни пропуски в решении

Реши неравенство \({\log \_2x \raisebox{-1em}{\),\(}\mathrlap{+}}\) \({+\log \_2\left(x-1\right)\leqslant 1}\) .

Решение.

Правая часть неравенства [не зависит|зависит] от переменной \(x\) , таким образом, правая часть будет иметь смысл при всех допустимых значения \(x\) . Логарифмические функции будут определены при \(x\) [ \(\gt\) | \(\lt\) | \(=\) ] \(0\) и \(x-1\) [ \(\gt\) | \(\lt\) | \(=\) ] \(0\) .

Следовательно, областью определения изначального неравенства будет являться промежуток \((1;+\infty)\) . Используем формулу сложения логарифмов и запишем результат:

\(\log \_2x(x-1)\leqslant 1\) .

Теперь преобразуем правую часть в виде логарифма:

\({\log \_2x(x-1)\leqslant \log \_22^1}\) .

Перейти к более простому неравенству можем благодаря тому, что \(2\gt 1\) , тогда:

\({x(x-1)\leqslant 2}\) .

Тогда исходное неравенство будет равносильно системе неравенств:

\(\begin{cases} x(x-1)\leqslant 2; \\ x\gt 1.\end{cases}\)

Решим первое неравенство:

\(x^2-x\) [ ] \(\leqslant 0\) .

Решение данного неравенства является интервал \(x\in\) [ \([-1;2]\) | \([-1;2)\) | \((-1;2)\) ].

Совместим решение первого неравенства из системы и решение второго неравенства, таким образом получим \(x\in\) [ \((1;2]\) | \([1;2]\) | \([1;2)\) ].

Ответ: \(x\in\) [ \((1;2]\) | \([1;2]\) | \([1;2)\) ].