Заполни пропуски

Рассмотрим уравнение \(\cos \alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .

Построим угол \(\alpha\) на числовой окружности.

Проведём прямую \(x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) . Получим точку \(P\) на дуге \([0;\pi]\) .

Соединим точку \(P\) c началом координат.

Угол \(\angle{AOP}=\alpha\) — искомый.

\(\alpha\) — это угол, косинус которого равен \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) , значит \(\alpha =\arccos \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\) [ ] — решение данного уравнения на промежутке \([0;\pi]\) .

Точке \(P\) соответствует целая серия точек \(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) , \(n\in \Z\) .

Все они будут решениями данного уравнения.

Прямая \(x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) имеет ещё одну точку пересечения с числовой окружностью — точку \(P\_1\) , соответствующую углу \(\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\) .

Так как \(\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)= \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) , то и \(\alpha=-\dfrac{\pi}{6}\) также будет решением.

\(P\_1\) соответствует серия \(-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) , \(n\in \Z\) .

Значит, решением данного уравнения являются две серии точек

\(-\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) , \(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) , \(n\in \Z\) .

Эти серии точек можно записать одной формулой:

\(\alpha=\pm \dfrac{\pi}{6}+2\pi n\) , \(n\in \Z\) .

Сколько решений имеет уравнение \(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ?[Одно|Два|Бесконечно много].

В общем случае все решения уравнения \(\cos\alpha=a\) при \(|a|\leqslant 1\) записываются с помощью формулы \(\alpha=\pm \arccos a+2\pi n\) , \(n\in \Z\) .

При \(|a|\gt 1\) уравнение \(\cos \alpha =a \) не имеет решений.

Подумай почему.