Рассмотри решение системы неравенств с параметром

Найдём все значения \(a\) , при каждом из которых система неравенств

\(\begin{cases} x^2-(2a+4)x+a^2+4a\ge 0, \\ |3x-2a|\le 4 \end{cases}\)

имеет единственное решение.

Решение.

Корни квадратного трёхчлена, находящегося в левой части первого неравенства системы: \(x\_1=a\) , \(x\_2=a+4\) . Так как при любых значениях \(a\) число \(x\_1\) меньше, чем число \(x\_2\) , то все решения первого неравенства системы составляют множество \((-\infty ;a]\cup [a+4;+\infty )\) .

Второе неравенство системы равносильно неравенству \(\left| x-\dfrac{2}{3}a\right| \leqslant\dfrac{4}{3}\) , все решения которого составляют отрезок \(\left[ \dfrac{2}{3}a-\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}\right] \) . Так как \(\dfrac{8}{3}\) — длина отрезка \(\left[ \dfrac{2}{3}a-\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}\right] \) меньше \(4\) — длины отрезка \([a;a+4]\) , то исходная система имеет единственное решение только в двух случаях: или равны числа \(a\) и \(\dfrac{2}{3}a-\dfrac{4}{3}\) ,

или равны числа \(a+4\) и \(\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}\) .

Искомые значения \(a\) найдём, решив два уравнения:

\(a=\dfrac{2}{3}a\) и \(a+4=\dfrac{2}{3}a+\dfrac{4}{3}\) ,

откуда \(a=-4\) и \(a=-8\) .

Итак, и при \(a=-4\) , и при \(a=-4\) система имеет единственное решение.

Ответ: \(-4\) ; \(-8\) .