Задание

Заполни пропуски в доказательстве

Плоскость \alpha касается сферы в точке A. Докажи, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку A и образующими равные углы с плоскостью \alpha, имеют равные радиусы.

Доказательство.

Пусть секущая плоскость \beta, проведённая через точку A, лежащую на сфере с центром O и радиусом R, образует угол \varphi с плоскостью \alpha, касающейся этой сферы в точке A. Тогда OA \perp . Пусть O_{1} — центр, r — радиус полученного сечения, l — линия пересечения плоскостей \alpha и β, O_{1}H — перпендикуляр к плоскости \alpha.

Так как l \perp O_{1}A (l — к окружности с центром O_{1}, O_{1}A — радиус , проведённый в касания), то l \perp HA (теорема ). Поэтому \angle = \varphi (линейный между ).

Поскольку OA \perp \alpha и O_{1}H \perp \alpha, то OA O_{1}H, и, следовательно, отрезки AH, O_{1}A и OA лежат в одной , а значит, \angle OAO_{1}= .

Из треугольника AO_{1}O получаем r = O_{1}A = = r_{окр.\:с\: центром\: O_{1}}.

Итак, радиус окружности, полученной в сечении сферы плоскостью \beta, зависит лишь от радиуса и угла между . Отсюда следует, что сечения сферы плоскостями, проходящими через точку A и образующими равные углы с плоскостью \alpha, имеют равные радиусы.