Задание
Перетащи ответы в правильные места
Докажи, что три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
точки\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC}\overrightarrow{XM}\overrightarrow{XK}\overrightarrow{XD}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\overrightarrow{XC}CD\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD}XT\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD}\overrightarrow{XC}\overrightarrow{XD}
Доказательство.
Пусть точка K — середина ребра AD тетраэдра ABCD, тогда для любойX пространства выполняется равенство \overrightarrow{XK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XD} (см. задание 83). Если точка M — середина ребра BC, то \overrightarrow{XM}=\dfrac{1}{2}+. Обозначим буквой Q середину отрезка KM, тогда \overrightarrow{XQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{XK}+\dfrac{1}{2}= \cfrac{1}{2}( + \overrightarrow{XM}) = \cfrac{1}{2} ( ( \cfrac{1}{2} \overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2} ) + ( + \cfrac{1}{2} \overrightarrow{XC} ) ) = \cfrac{1}{4} ( \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB} + + \overrightarrow{XD} ).
Обозначим буквами P, T и O середины отрезков AB, и PT. Тогдa \overrightarrow{XP}=, \overrightarrow{XT}=, \overrightarrow{XO}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{XP}+)=\dfrac{1}{2}\left(\left(dfrac{1}{2}\overrightarrow{XA}+\right)+\dfrac{1}{2}()\right)=\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{XA}+\overrightarrow{XB}++).
\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC}\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XE} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XH}\cfrac{1}{2}\left((\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XB} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XD})+(\cfrac{1}{2}\overrightarrow{XA} + \cfrac{1}{2}\overrightarrow{XC})\right)\cfrac{1}{4}\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}\overrightarrow{XO}\overrightarrow{XF}совпадаютEHпересекаютсяпополам
Обозначим буквами E, H и F середины отрезков BD, AC и EH. Тогда получим \overrightarrow{XE}=, \overrightarrow{XH}=, \overrightarrow{XF}===(\overrightarrow{XA}++\overrightarrow{XD}).
Сравнив полученные выражения для векторов \overrightarrow{XQ}, \overrightarrow{XO} и \overrightarrow{XF}, делаем вывод: \overrightarrow{XQ}==. Так как начала этих равных векторов совпадают, то и их концы. Следовательно, середины отрезков KM, PT и совпадают, т. е. эти отрезки в одной точке и делятся этой точкой , что и требовалось доказать.