Задание

Докажи следующее утверждение

Если точка M — середина отрезка AB и точка O — произвольная точка пространства, то \overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}.

серединапротивоположные-\overrightarrow{BM}\overrightarrow{0}\overrightarrow{AM}\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OM}\overrightarrow{AM}\overrightarrow{BM}\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OA}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\overrightarrow{OM}сонаправленные

Доказательство.

Так как точка M- отрезка AB, то векторы \overrightarrow{AM} и \overrightarrow{BM} , т. е. \overrightarrow{AM}= , и, значит, \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}= .

Для точек A, M и произвольной точки O по правилу треугольника получаем \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+ (1), а для точек B, M и O получаем \overrightarrow{OM}= +\overrightarrow{BM} (2).

Сложим равенства (1) и (2): \overrightarrow{OM}+ =\overrightarrow{OA}+ +\overrightarrow{OB}+ . Отсюда следует: 2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+ +\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}= +\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{0}. Итак, 2\overrightarrow{OM}= , поэтому \overrightarrow{OM}= , что и требовалось доказать.