Ознакомься с примером
Реши систему уравнений \( \begin{cases} x^5+4x^4+5y^2=0,\\ x^3-\dfrac{y^3}{x^2}=xy-y^2. \end{cases}\)
Решение. Второе уравнение исходной системы равносильно каждому из уравнений
\(x^2\left( x+\dfrac{y^2}{x^2}\right) =y\left( x+\dfrac{y^2}{x^2}\right) \) , \((x^2-y)\left( x+\dfrac{y^2}{x^2}\right) =0\) .
а) Если \(x^2=y\) , то из первого уравнения исходной системы получаем \(xy^2+4y^2+5y^2=0\) , откуда следует, что либо \(y=0\) , либо \(x=-9\) . Но если \(y=0\) , то \(x=0\) , а при \(x=0\) второе уравнение теряет смысл. Итак, \(x=-9\) , \(y=x^2=81\) .
б) Если \(x+\dfrac{y^2}{x^2}=0\) , то \(x^3+y^2=0\) . Из первого уравнения системы находим \(x^5+4x^4-5x^3=0\) , \(x^2+4x-5=0\) \((x\ne 0)\) , откуда \(x\_1=-5\) , \(x\_2=1\) .
Пусть \(x=-5\) , тогда \(y^2=125\) , откуда \(y=\pm 5\sqrt{5}\) .
Пусть \(x=1\) , тогда \(y^2=-1\) . Это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, система имеет три действительных решения: \((-9;81)\) , \((-5;5\sqrt{5})\) , \((-5;-5\sqrt{5})\) .
Ответ: \((-9;81)\) , \((-5;5\sqrt{5})\) , \((-5;-5\sqrt{5})\) .