Задание

Ознакомься с примером решения

Определим промежуток значений x, для каждого из которых верно равенство

\arcsin (x+0,1)+\arccos (x+0,1)=\dfrac{\pi }{2}.

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)=\arcsin (x+0,1)+\arccos (x+0,1). Она определена для всех таких x, для которых справедливо двойное неравенство -1\leqslant x+0,1\leqslant 1, т. е. D~(f)=[-1,1;0,9]. Эта функция имеет производную для каждого x\in (-1,1;0,9). Найдём её:

f'(x)=\dfrac{1\cdot (x+0,1)'}{\sqrt{1-(x+0,1)^2}}-\dfrac{1\cdot (x+0,1)'}{\sqrt{1-(x+0,1)^2}}=0.

Так как производная функции f(x) равна нулю на всём интервале (-1,1;0,9), то функция — постоянная на этом интервале, т. е. для каждого значения x\in (-1,1;0,9) функция принимает одно и то же значение C. Определим его для какого-нибудь значения x из этого промежутка. Например, для x=-0,1:

C=f(-0,1)=\arcsin (-0,1+0,1)+\arccos (-0,1+0,1)=\arcsin 0+\arccos 0=0+\dfrac{\pi }{2}=\dfrac{\pi }{2}.

Тем самым доказано, что исходное равенство верно для x\in (-1,1;0,9).

Так как f(-0,1)=f(0,9)=\dfrac{\pi }{2}, то исходное равенство верно и для x=-1,1 и для x=0,9. Следовательно, исходное равенство верно для любых x\in D~(f), т. е. оно верно только для любых x\in [-1,1;0,9].

Ответ: x\in [-1,1;0,9].